Arealsum av trekanter

[LAMBRIDA]

Hei

Håper de er bra jeg kommer med oppgaver.
Denne første oppgaven jeg har her kan være ganske interessant å prøve seg på.,Finner man systemet og verdiene i dette er det ikke vanskelig å finne lik arealsum uansett hvor store trekantene kan bli.


Oppgave 1

3 formlike trekanter som følger like etter hverandre i størrelse med heltallige sider kan for eksempel være 9 , 15 , 21 trekanten., 12 , 20 , 28 trekanten og 15 , 25 , 35 trekanten.,Disse formlike trekantene er basis fra 3 , 5 , 7 trekanten som er den minste i en uendelig rekke.,Altså summen av arealet til de 2 minste trekantene jeg tok ut som eksempel har et samlet areal som er lik arealet til 15 , 25 , 35 trekanten.,Videre kan vi finne 3 etterfølgende trekanter som har et samlet areal som er lik summen av de påfølgende 2.,Men kva er sidene på den minste trekanten der summen av 9 etterfølgende trekanter har et samlet areal som er lik summen av de påfølgende 8?


Oppgave 2

Når enten H, U eller B kan forekomme for hver av 3 kamper i fotballtipping, så er det 27 muligheter.,Man kan jo tippe 3 H-er i første rekke , 3 U-er i andre rekke og 3 B-er i tredje rekke og være sikker på å få 1 riktige.,Men, hvor mange enkle rekker må man minst skrive (tippe) for at det minimum skal være 2 riktige på de 3 kampene?

Lykke til

[Vektormannen]

1) Oppgaveteksten var litt uklar, men hvis jeg forstår deg rett: Hvis vi skal ha at summen av arealet av [tex]n[/tex] etterfølgende trekanter skal være lik summen av arealet av de [tex]n-1[/tex] påfølgende trekantene, så må forholdet [tex]k[/tex] mellom den første trekanten og den "fundamentale" trekanten (3,5,7 i ditt tilfelle) være [tex]k = (n-1)(2n-1)[/tex]. Med eksempelet 9 og 8 som du oppgir får vi da at [tex]k = 8 \cdot 17 = 136[/tex]. Den minste trekanten i rekken blir altså den som har sider som er 136 ganger lengre enn sidene i grunntrekanten. Var det dette du mente?

[Kork]

405, 675, 946 Muligens =P

Jeg lagde en diger liste i excel og fant når summen av 9 areal ble lik summen av de 8 som kom etterpå.

405, 675, 946 ble da den som kom rett før de 9.

[Vektormannen]

Det ser ut som vi har tolket det likt i alle fall. Du ender opp med et forhold på 405/3 = 135, det er jo nesten 136 som det skal bli helt eksakt (hvis jeg har gjort algebraen riktig en sen lørdagskveld da :p)

Avviket kan kanskje skyldes akkumulering av feil i excel? 946 er jo ikke en helt gyldig lengde, siden 946 ikke er delelig på 7.

[Kork]

Jeg er for nub til å forstå din fremgangsmåte men jeg gikk ut ifra at lengdene økte med 3, 5 og 7 for hvert trinn.

Og da ble arealet neeeesten helt likt av de 9 og 8 under(jeg klarte ikke å finne mer enn 2 desimaler til vinkelen).

-|---------|--------

Den enslige prikken til venstre er 405, 675, 946

[Vektormannen]

Ah, ser ut som jeg leste innlegget ditt feil sist, du mener jo det er 405, 675, 946-trekanten som er den siste før rekken med 9 trekanter. Da er vi i såfall enige (utenom at den ene sidelengden blir 945, ikke 946.)

Du trenger ikke gå ut i fra at lengden øker med 3, 5 og 7. Dette vil faktisk gjelde uansett hvordan trekanten ser ut. Arealet har ikke noe å si, det eneste som har noe å si er arealforholdene mellom hver trekant i rekken og "grunntrekanten" (3,5,7 i dette tilfellet.) Uansett hvordan trekanten ser ut kommer man frem til at [tex]k = (n-1)(2n-1) - 1[/tex] er trekanten som kommer før første trekant i rekken. Så om du vil at 100 trekanter skal være lik de 99 påfølgende så vil trekanten som kommer rett før de 100 ha sidelengder som er [tex]k = 99 \cdot 199 - 1 = 19700[/tex] ganger lengre enn sidene i grunntrekanten. Med 3,5,7-trekanten vil det gi en trekant med sidelengder 59100, 98500, 137900.

[Kork]

Kult! Hvor kan jeg lære dette i et lavt tempo? Eller hvilken erfaring vil jeg trenge for å kunne resonnere meg fram til den løsningen tror du? Jeg ser jo at det stemmer men hvordan du kom fram til det er et mysterium =P

[Vektormannen]

Det du trenger (for å gjøre det jeg gjorde) er i hovedsak at hvis du har en trekant med areal A og en annen trekant har sider som er k ganger lengre enn i trekanten med areal A, så vil denne trekanten ha et areal som er [tex]k^2 A[/tex] (kort sagt: arealet øker med kvadratet av sideforholdet.) Dette er pensum i geometridelen av R1.

Jeg kan ta et eksempel som illustrerer tankegangen. Den generelle utledningen vil bare gå ut på å bytte ut 3 (i dette tilfellet) med en variabel. Vi vil at arealet fra tre etterfølgende trekanter skal være lik arealet av de to påfølgende. Hva blir da først trekant?

Vi lar A være arealet til den "fundamentale" trekanten som er minst mulig (f.eks. 3,5,7-trekanten), og så lar vi [tex]k[/tex] være forholdet mellom sidelengden i den første trekanten i rekken og den fundamentale trekanten. Summen av arealet av de 3 etterfølgende trekantene blir da [tex]k^2 A + (k+1)^2 A + (k+2)^2 A[/tex]. Arealet av de to neste blir [tex](k+3)^2 A + (k+4)^2 A[/tex]. Vi vil at disse to skal være like, så vi får altså ligningen

[tex]A(k^2 + (k+1)^2 + (k+2)^2) = A((k+3)^2 + (k+4)^2)[/tex]

A var en faktor i alle ledd, så den er faktorisert ut. Men da ser vi at A er en faktor på begge sider, altså kan vi stryke den. Arealet har ingenting å si.. Nå står vi igjen med en ligning som kan se ganske stygg ut, men flytter vi over så ser vi et mønster om vi grupperer sammen to og to ledd:

[tex][k^2 - (k+3)^2] + [(k+1)^2 - (k+4)^2] + (k+2)^2 = 0[/tex]

Bruker konjugatsetningen:

[tex][(k-(k+3))(k+(k+3))] + [(k+1-(k+4))(k+1+(k+4))] + (k+2)^2 = 0[/tex]

[tex][-3(2k+3)] + [-3(2k+5)] + (k+2)^2 = 0[/tex]

[tex]-3(4k +8) + k^2 + 4k + 4 = 0[/tex]

[tex]k^2 - 8k - 20 = 0[/tex]

[tex]k = \frac{8 \pm \sqrt{8^2 - 4 \cdot (-20)}}{2} = 4 \pm \sqrt{16 + 20} = 4 \pm 6[/tex].

Da må [tex]k = 4+6 = 10[/tex]. Hvis du sjekker med excel så får du antageligvis det samme. (EDIT: 10 er her lengdeforholdet mellom den første av de 3 og den fundamentale trekanten, så k = 9 blir lengdeforholdet mellom den som kommer rett før de 3 og fundamentaltrekanten. )

For å vise dette for en generell [tex]n[/tex] i stedet for 3 som i dette tilfellet, så er det essensielt snakk om å gjøre de samme tingene. Det blir selvsagt mer vrient, men det lar seg gjøre med ting du lærer på videregående. En ting du mest sannsynlig vil få bruk for er at [tex]1+2+3+4+ ... + n = \frac{n(n+1)}{2}[/tex].

[Kork]

Neat! Takk for at du tar deg tid til å forklare, veldig interessant.

[LAMBRIDA]

Neat! Takk for at du tar deg tid til å forklare, veldig interessant.

Hei

Dette var meget interessant, oppgaven er forstått og løst.,Kanskje var det noe i teksten som kunne vært annerledes,men de forstod prinsippet ser jeg.
Jeg som er industriarbeider er ikke dreven med likninger av noe slag, men oppgaver finner jeg på selv, som er meget interssant.

Jeg har en liste nedenfor som jeg har laget i denne forbindelse og som viser de etterfølgende løsninger.,Mener denne også er riktig.,Resultatet av hvert regnestykke viser den korteste siden på den første trekanten i rekken av å finne like arealer.,Til venstre angir hvor mange trekanter det er i den aktuelle rekken.,Slik at svaret på oppgaven er dermed 17 x 24 som er 408 som er den korteste siden på den første trekanten i den aktuelle rekken.

3 x 3 = 9
5 x 6 = 30
7 x 9 = 63
9 x 12 = 108
11 x 15 = 165
13 x 18 = 234
15 x 21 = 315
17 x 24 = 408
osv.

Vh

J.H

[Vektormannen]

Listen din stemmer den, for det er essensielt akkurat samme liste som jeg fikk. Hvert tall i listen din er på formen [tex]3(n-1)(2n-1)[/tex] der n starter på 2 og øker med 1 nedover.

Merk deg at hvis du deler tallene dine på 3 så får du nummeret i rekken til den første trekanten av de etterfølgende n trekantene. Dette gjelder uansett om det er en 3,5,7-trekant, eller en hvilken som helst annen trekant!