Trigonometisk integral

[Hi im HK]

Vi er git integalet [tex]\int \frac{sinx}{cos^{2}x}dx[/tex].

Hvordan skal vi løse dette? Jeg er helt blank... Jeg har prøvd å omforme det til tangens, men det ga bare mer arbeid.

[Razzy]

Vi er git integalet [tex]\int \frac{sinx}{cos^{2}x}dx[/tex].

Hvordan skal vi løse dette? Jeg er helt blank... Jeg har prøvd å omforme det til tangens, men det ga bare mer arbeid.

[tex]$$I = \int {{{sin\left(x)} \over {co{s^2}\left( x \right)}}} dx = \int {\sec \left( x \right)\tan \left( x \right)\;dx} $$[/tex]

Husk at: [tex]$${1 \over {\cos \left( x \right)}} = \sec \left( x \right)$$[/tex] og [tex]$$\;{{\sin \;\left( x \right)} \over {\cos \left( x \right)}} = \tan \left( x \right)$$[/tex]

[tex]$$u = \sec \left( x \right) \Rightarrow u^\prime = {{du} \over {dx}} = \sec \left( x \right)\tan \left( x \right)$$[/tex]

[tex]$$du = \sec \left( x \right)\tan \left( x \right)\;dx$$[/tex]

[tex]$$I = \int {\sec \left( x \right)\tan \left( x \right)\;dx} $$[/tex]

[tex]$$I = \int {1\;du} \; = \;u\; + \;C$$[/tex]

[tex]$$I = \underline{\underline {\sec \left( x \right) + \;C}} $$[/tex] el.

[tex]$$I = \underline{\underline {{1 \over {\cos \left( x \right)}} + \;C}} $$[/tex]

http://www.wolframalpha.com/input/?i=In ... 9x%29%5Ddx (kopier hele linken)

Du lurer kanskje på om dette integralet kan løses uten å bruke sec (x) og svaret er ja, men det blir litt mer skriving tror jeg. (Har akkurat lært meg dette av Nebu )

Nei nå må jeg gjøre kjemien mine... hehe

[Razzy]

Fikk til noe annet på første forsøke faktisk (kan jo være litt vanskelig å vite hva man skal sette som u nå man skal bruke substitusjon)



Edit: Det skulle vært to streker under svaret til slutt.
Håper dette er til hjelp og ikke bare forvirring, si ifra.

[Nebuchadnezzar]

^^ Godt jobba

[Vektormannen]

Flotte løsninger, Razzy, ser ut som du har et godt grep om substitusjon nå

Men det desidert raskeste her er nok å la u = cos x. Vi ser jo at sin x er den deriverte av cos x (vel nesten, mangler bare et minusfortegn, men det gjør ikke noe), så alt bør tyde på at integranden har forekommet ved å derivere en sammensatt funksjon med cos x som kjerne (siden deriverte av kjernen forekommer i telleren.)

Lar vi u = cos x får vi [tex]\frac{du}{dx} = -\sin x \ \Rightarrow \ du = -sin x dx[/tex]. Da får vi [tex]\int \frac{\sin x}{\cos^2 x} dx = \int -\frac{-\sin x dx}{u^2} = -\int \frac{du}{u^2} = u^{-1} + C = \frac{1}{\cos x} + C[/tex].

[Razzy]

Flotte løsninger, Razzy, ser ut som du har et godt grep om substitusjon nå

Men det desidert raskeste her er nok å la u = cos x. Vi ser jo at sin x er den deriverte av cos x (vel nesten, mangler bare et minusfortegn, men det gjør ikke noe), så alt bør tyde på at integranden har forekommet ved å derivere en sammensatt funksjon med cos x som kjerne (siden deriverte av kjernen forekommer i telleren.)

Lar vi u = cos x får vi [tex]\frac{du}{dx} = -\sin x \ \Rightarrow \ du = -sin x dx[/tex]. Da får vi [tex]\int \frac{\sin x}{\cos^2 x} dx = \int -\frac{-\sin x dx}{u^2} = -\int \frac{du}{u^2} = u^{-1} + C = \frac{1}{\cos x} + C[/tex].

Det er vakkert! Og tusen takk til dere begge to, hadde aldri klart meg uten. Nebuchadnezzar har lært meg det meste av heavy integrering, og det er gøy å få det til. I tillegg blir man litt "estetisk", det skal jo se fint ut også

[Nebuchadnezzar]

Heavy og heavy. Heavy innen normalskolegang vil jeg si, dette er bortimot det tøffeste man kommer bort i, uten å gå over på fag som kompleks analyse og slikt. Nå snakker jeg om integral som krever inverse trigonometriske substitusjoner.

Selv regner jeg slike integral som rimelig normale, kanskje til og med lette.

Integralene jeg regner på, som jeg regner for å være normal vanskelighetsgrad på er slike

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=413261

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=432453

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=429543

Mens ting jeg regner for heavy. Er i linken under. Dette er mildt sagt godt over mitt hodet. (Enda)

http://www.mathematica.gr/forum/viewtop ... 2&start=20

[Razzy]

Heavy og heavy. Heavy innen normalskolegang vil jeg si, dette er bortimot det tøffeste man kommer bort i, uten å gå over på fag som kompleks analyse og slikt. Nå snakker jeg om integral som krever inverse trigonometriske substitusjoner.

Selv regner jeg slike integral som rimelig normale, kanskje til og med lette.

Integralene jeg regner på, som jeg regner for å være normal vanskelighetsgrad på er slike

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=413261

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=432453

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=429543

Mens ting jeg regner for heavy. Er i linken under. Dette er mildt sagt godt over mitt hodet. (Enda)

http://www.mathematica.gr/forum/viewtop ... 2&start=20

oi... Kanskje jeg dulter borti noen av disse etterhvert, har begynt på emnet uegentlige integral også, da kommer det noe tøffe greier hvertfall...