Oppgaver fra den islandske matematikkolympiaden

[Fibonacci92]

Oppgave 1: Finn alle heltall a,b slik at:



Oppgave 2: Finn alle heltall a,b slik at:



Begge oppgavene ble gitt i den islandske matematikkolympiaden, (Tilsvarende abelkonkurransen).

[Nebuchadnezzar]

[tex]\left( {a + {b^3}} \right)\left( {{a^3} + b} \right) = {\left( {a + b} \right)^4} [/tex]

Utvider vi brøkene og bruker pascalstrekant på høyre siden, kombinert med litt smart faktorisering får vi.

[tex] - ab\left( {ab + 2b + 1 + 2a} \right)\left( {ab - 2b + 1 - 2a} \right) = 0[/tex]

Setter vi hvert av disse leddene lik null og løser for a får vi

[tex] \left( {a + {b^3}} \right)\left( {{a^3} + b} \right) = {\left( {a + b} \right)^4}[/tex] når [tex]a = 0 \; \vee \; a = - \frac{{2b + 1}}{{b + 2}} \; \vee \; a=\frac{{2b - 1}}{{b - 2}} [/tex]

[Fibonacci92]

Du mangler da fortsatt å finne heltallene:)

[Charlatan]

Oppgave 1:

Uttrykket kan ordnes til [tex]ab(4b^2+6ab+4a^2-a^2b^2-1) = 0[/tex].

Anta at a og b er ulik 0. Da er [tex]4b^2+6ab+4a^2 = a^2b^2+1[/tex]

2 deler [tex]a^2b^2+1[/tex], så a og b må være odde. Anta nå at [tex]|a|, |b| \geq 4[/tex], og [tex]a \geq b[/tex]. Da er [tex]0 = a^2b^2+1 - (4b^2+6b^2+4b^2) \geq b^2(a^2-14)+1 > 0[/tex], som er en motsigelse. Av symmetri gjelder det samme hvis b er større eller lik a. Altså må |a| < 4, eller |b|<4.

Likningen vår er [tex](4-a^2)b^2+(6a)b +4a^2-1 = 0[/tex]. Vi kan teste tilfellene for seg:
[tex]a = \pm 2[/tex] gir [tex]\pm 12b+9 = 0[/tex], som ikke har noen løsninger.
[tex]a = \pm 1[/tex] gir [tex]3b^2 \pm 6b+3 = 0[/tex], eller [tex]b^2 \pm 2b +1 = (b \pm 1) = 0[/tex], som gir løsningene (1,-1) og (-1,1).

a = 3 gir [tex]5b^2-18b-35 = 0[/tex], som gir [tex]b = \frac{18 \pm \sqrt{18^2+20 \cdot 35}}{10} = \frac{9 \pm 16}{5}[/tex], så b = 5. Vi får løsningen (3,5).
a = -3 gir [tex]5b^2+18b-35 = 0[/tex], som gir [tex]\frac{-9 \pm 16}{5}[/tex], så b = -5. Vi får løsningen (-3,-5).

Av symmetri ved å bytte om på a og b får vi i tillegg løsningene (5,3) og (-5,-3) ved å teste verdier for b hver for seg.

Endelig, hvis a = 0, er likningen oppfylt for alle b, og hvis b = 0 for alle a.

Dette gir oss løsningene (0,t),(t,0), (1,-1),(-1,1), (3,5), (-3,-5),(5,3) og (-5,-3) for alle t.

[Charlatan]

Oppgave 2:

La [tex]x = 2^a[/tex] og [tex]y = 3^b[/tex]. Likningen er [tex]xy-3y+x = 13[/tex], eller [tex](x-3)(y+1) = 10[/tex]. Altså må x-3 dele 10. [tex]x-3 \geq -[/tex]2, så x -3 = -2, -1,1,2,5 eller 10. Dvs [tex]2^a[/tex] = 1,2,4,5 eller 8, som gjør at a = 0,1,2 eller 3.

Vi tester hvert tilfelle: a = 0 og a = 1 gir henholdsvis y+1 = -5 og -10 som er umulig. Hvis a = 2, er y+1 = 10, som gir y = 9, så b = 2. Altså er (2,2) en løsning. Hvis a = 3 er y+1 = 2, som gir y = 1, dvs b = 0, så (3,0) er en løsning.

Alle løsninger er da (2,2) og (3,0).

[Fibonacci92]

Begge løsningene er selvfølgelig helt korrekte.


En annen måte er å gange ut parantesene:



Dele på ab og legge til 2ab:



For så å trekke sammen:



Så er tolkningsarbeidet relativt lett etterpå