matematikk.net

Vi sier at en endelig mengde S av punkter i planet er fullstendig symmetrisk hvis, for alle [tex]A, B \in S[/tex], midtnormalen til [tex]AB[/tex] er en symmetriakse for S. (Dvs at S er invariant under refleksjon over midtnormalen.) Bestem alle (endelige) fullstendige symmetriske mengder punkter i planet.

[tex]S[/tex] kan være en vilkårlig mengde av minst to distinkte punkter, der alle punkter ligger på samme linje.

Hvis vi antar at vi har tre punkter i [tex]S[/tex] som ikke ligger på samme linje, og anser dette som en genererende mengde for S, vil disse kunne gi opphav til et uendelig stort symmetrisk gitter, så S vil ikke være endelig.

Vel, punktene (0,0), (2,0), (3,0) danner ingen fullstendig symmetrisk mengde ettersom midtnormalen til (0,0) og (2,0) reflekterer (3,0) til (-1,0) som ikke er med i mengden.

Dessuten, hvis vi betrakter mengden av punktene (0,0), (1,0), (1,1) og (0,1), vil enhver midtnormal være en symmetriakse.

Hvis jeg nå ikke har misforstått noe.

Begge deler er riktig - dvs at (0,0), (2,0), (3,0) ikke er noen fullstendig symmetrisk mengde, og at (0,0), (1,0), (1,1), (0,1) er det. Altså er resonnementet om at tre punkter fungerer som en genererende mendge for S galt, da punkter kan reflekteres til andre punkter i mengden, slik at vi ikke får generert noen nye.

Av en eller annen grunn leste jeg "midtnormalen til [tex]AB[/tex]" som "linjen gjennom punktene [tex]AB[/tex]. Min feil.

Da så. I så fall hadde løsningen din vært helt riktig.

I så fall vil jeg påstå at hjørnene til et regulært n-gon oppfyller kravet, men jeg har ikke noe bevis for at dette er de eneste løsningene.