Atter en funksjonallikning

[Karl_Erik]

Finn alle deriverbare funksjoner [tex]f: \mathbb R \to \mathbb R[/tex] slik at [tex]f ^ \prime (x)=\frac {f(x+n)-f(x)} n[/tex] for alle reelle x og alle positive heltall n.

[Gustav]

Lar [tex]f[/tex] være en slik funksjon.

Har at for naturlige tall m er [tex]f^,(x+m)=\frac{f(x+m+n)-f(x+m)}{n}=\frac{(m+n)\frac{f(x+m+n)-f(x)}{m+n}-m\frac{f(x+m)-f(x)}{m}}{n}=\frac{(m+n)f^,(x)-mf^,(x)}{n}=f^,(x)[/tex]

[tex]f^{,,}[/tex] eksisterer siden [tex]f^,[/tex] eksisterer, og

[tex]f^{,,}(x)=\frac{f^,(x+n)-f^,(x)}{n}=0[/tex]. Så [tex]f(x)=f^,(0)x+f(0)[/tex] som blir de mulige løsningene.