Rasjonale tall

[Fibonacci92]

For hvilke rasjonale tall m er 1/m + m et heltall?

[Gustav]

La [tex]m=\frac{p}{q}[/tex] og anta at [tex]m+\frac{1}{m}=a[/tex] der [tex]a[/tex] er et heltall. Da er [tex]\frac{p}{q}+\frac{q}{p}=a[/tex] som etter litt opprydding blir [tex]p^2-aqp+q^2=0[/tex]. Fullføring av kvadratet gir at [tex](p-\frac{aq}{2})^2=\frac{(aq)^2}{4}-q^2[/tex], altså er [tex]p=\frac{aq}{2}\pm\sqrt{\frac{(aq)^2}{4}-q^2}[/tex] eller ekvivalent
[tex]m=\frac{p}{q}=\frac{a\pm\sqrt{a^2-4}}{2}[/tex]. For at høyresida skal være rasjonal må uttrykket i rota være et perfekt kvadrat:
Vi må ha at [tex]a^2-4=n^2[/tex] som er ekvivalent med [tex](a-n)(a+n)=2^2[/tex]. Dersom [tex]a-n=\pm 1[/tex] eller [tex]a-n=\pm 4[/tex] er [tex]a[/tex] ikke et heltall. Derimot kan vi ha at [tex]a-n=\pm 2[/tex] som gir at [tex]a=\pm 2[/tex], som er de eneste mulighetene. Da er [tex]m=\pm 1[/tex] de eneste mulighetene.

[Fibonacci92]

Det er selvfølgelig helt riktig. Alternativt kan du etter å ha fått at p^2 + q^2 =apq oppdage at siden q^2 og apq opplagt er delelige med q så må også p^2 være delelig med q. Hvis du da tidligere har antatt at p/q er fullstending forkortet så har p og q ingen felles faktorer utenom -1 og 1, som fører til at p = [symbol:plussminus] 1 og q = [symbol:plussminus] 1 som igjen fører til at m = [symbol:plussminus] 1