Shur`s Ulikhet

[Nebuchadnezzar]

For alle [tex]x,y,z \geq 0[/tex] og [tex]r > 0 [/tex]


[tex]x^r(x-y)(x-z) + y^r(y-x)(y-z)+ z^r(z-x)(z-y) \geq 0[/tex]

Vis at likheten gjelder, hvis og bare hvis [tex]x=y=z[/tex] eller to av [tex]x,y,z[/tex] er lik og den tredje er null.

[Karl_Erik]

Av symmetri kan vi anta [tex]x \geq y \geq z[/tex]. Da er ulikheten ekvivalent med [tex](x-y)(x^r(x-z) - y^r(y-z)) + z^r (z-x)(z-y) \geq 0[/tex] . Her er [tex]z^r[/tex]-leddet positivt av den antatte ordningen, og (x-y) er positivt, så det holder å vise [tex]x^r(x-z) \geq y^r(y-z)[/tex]. Men [tex]x \geq y[/tex], så [tex]x-z \geq y-z[/tex], og [tex]x^r\geq y^r[/tex] siden [tex]r>0[/tex], og vi er ferdige - venstresiden er summen av to positive ledd og derfor positiv.