Uendelig trekantfølge i en større trekant

[Karl_Erik]

Trekant ABC er rettvinklet og likebeint, med hypotenus BC. Vi tegner en likesidet trekant med det ene hjørnet i A, og det andre hjørnet på hypotenusen og det tredje hjørnet D på linjestykket AB. Vi tegner deretter en ny likesidet trekant med det ene hjørnet i D, det andre hjørnet på hypotenusen og det tredje i E, som ligger på linjestykket DB. Vi fortsetter sånn i det uendelige, og får en uendelig følge av likesidede trekanter der ingen overlapper, og grunnlinjene deres totalt dekker AB.

Hva er forholdet mellom deres samlede areal og arealet av ABC?

'Oppfølger': Finn forholdet uten å bruke trigonometri (om en vil kverulere rundt hvorvidt dette er mulig i og med at vi snakker om trekanter: uten særlig kompliserte utregninger).

[Nebuchadnezzar]

Arealet av den første trekanten kan vi skrive slik

[tex]AB \cdot \frac{{\frac{1}{{{2}}} \cdot \frac{1}{{{2}}}}}{2} = AB \cdot \frac{1}{{2 \cdot {2^{2}}}} [/tex]

Arealet av den n`te trekanten kan vi skrive slik

[tex]AB \cdot \frac{{\frac{1}{{{2^n}}} \cdot \frac{1}{{{2^n}}}}}{2} = AB \cdot \frac{1}{{{2^{2n+1}}}} [/tex]

Summerer vi disse trekantene får vi

[tex] \sum\limits_{n = 1}^\infty \, {\frac{1}{{ {2^{2n+1}}}}} = \frac{1}{6} [/tex]

Summen av en geometrisk serie

[tex]S(n)=\frac{a}{1-r}[/tex]

Der [tex] a=\frac14[/tex] og [tex]r=-\frac12[/tex]

[tex]S(n)=\frac{\frac{1}{4}}{1+{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{6}[/tex]

Som jeg antar er svaret.

[Karl_Erik]

Det stemmer nok ikke, er jeg redd. Jeg ser ikke helt hvor du får at arealet av den første trekanten skal være 1/8 AB (med mindre du antar at en eller annen lengde i trekanten har lengde 1 er jo dette en lengde, og ikke areal), og svaret du kommer fram til (1/6) er heller ikke riktig.

[Nebuchadnezzar]

Er det ikke arealet av [tex]AED[/tex] man er ute etter ?
Siden trekanten er likebenet og rettvinklet, ville jo jeg anta at [tex]AB[/tex] er like lang som [tex]AC[/tex]

Her mente jeg selvfølgelig at AB er arealet av trekant ABC, og ikke lengden av AB, om dette skapte forvirring ^^

Arealet av den første trekanten er 1/4 av ABC, den neste er 1/16 osv.
Arealet av den første trekanten

[tex]\angle 1 = \angle ABC\cdot \frac{1}{2^{2n}}[/tex]

Setter vi arealet av ABC til x får vi at arealet til den ente trekanten er

[tex]A(n)=x\cdot{4^{-n}}[/tex]

Dette er en enkel geometrisk serie, som gir oss at arealet av summen av trekantene er

[tex]x\cdot{4^{-n}}=x\frac{1}{3}[/tex]

Altså er arealet av summen av trekantene en tredjedel.

Eneste feilen jeg hadde gjort i sted var at jeg brukte lengden av [tex]AB[/tex] i utregningene, der jeg skulle brukt arealet av ABC. Selv om [tex]AB=1[/tex] betyr det ikke at arealet av [tex]ABC=1[/tex]...

[Karl_Erik]

Nå ser jeg hva du mener, men det jeg mente var at trekantene som innskrives er likesidet, og ikke bare likebeint. Altså skulle AED i figuren din vært en likesidet trekant der alle vinklene er 60 grader. Gitt denne tolkningen av oppgaven er dog svaret ditt riktig.

[Gustav]

La høydene av de likesidede trekantene være angitt med [tex]h_i[/tex] og halvparten av sidelengdene ved [tex]x_i[/tex] der [tex]i[/tex] går fra 1 og ut til uendelig. Ved å observere at høydene utgjør de største katetene i 30-60-90-graders trekanter der minste katet er halve sidelengden, vil via pytagoras [tex] x_i=\frac{h_i}{\sqrt{3}}[/tex] og følgelig vil det totale arealet av alle de likesidede trekantene være

[tex]A=\frac{1}{\sqrt{3}}\sum_{i=1}^\infty h_i^2[/tex].

Vi antar at de to katetene i den likebente trekanten ABC har lengde 1, slik at arealet er [tex]\frac12[/tex].

[tex]h_1[/tex] finnes enkelt siden [tex]h_1=1-x_1=1-\frac{1}{\sqrt{3}}h_1[/tex] så [tex]h_1=\frac{1}{1+\frac{1}{\sqrt{3}}}[/tex].

På samme vis er [tex]h_2=1-2x_1-x_2=1-\frac{2}{\sqrt{3}}h_1-\frac{1}{\sqrt{3}}h_2[/tex].

Etter litt opprydding får jeg at

[tex]h_2=(2-\sqrt{3})h_1[/tex] så man har funnet forholdet [tex]k=2-\sqrt{3}[/tex] mellom to påfølgende trekanter, som vel bør være konstant pga. formlikhet.

Da blir [tex]h_i=k^{i-1}h_1[/tex] og

[tex]A=\frac{h_1^2}{\sqrt{3}}\sum_{i=1}^{\infty}k^{2i-2}=\frac14[/tex] og forholdet mellom arealene [tex]\frac{\frac{1}{4}}{\frac12}=\frac12[/tex]

[Karl_Erik]

Helt riktig, og fin løsning. Jeg overså din fine måte å finne [tex]h_1[/tex] på.