Skjønne mattebokens tekst om vektorproduktet

[norXway]

Hei! Jeg sliter med å forstå den nederste linja i sitatet:

Når vi skal finne koordinatformelen for vektorproduktet, må vi regne ut

[tex]\vec{p}\times\vec{q} = (p_{1}\vec{e_{x}}+p_{2}\vec{e_{y}}+p_{3}\vec{e_{z}})\times(q_{1}\vec{e_{x}}+q_{2}\vec{e_{y}}+q_{3}\vec{e_{z}})[/tex]

Vi utnytter for eksempel at [tex]\vec{e_{x}}\times\vec{e_{x}} = \vec{0}[/tex], og at [tex]\vec{e_{x}}\times\vec{e_{y}} = \vec{e_{z}}[/tex]. Vi får

[tex][p_{1},p_{2},p_{3}]\times[q_{1},q_{2},q_{3}] = [p_{2}q_{3}-p_{3}q_{2}, p_{3}q_{1}-p_{1}q_{3}, p_{1}q_{2}-p_{2}q_{1}][/tex]

Hvordan blir [tex][p_{1},p_{2},p_{3}]\times[q_{1},q_{2},q_{3}][/tex] lik [tex][p_{2}q_{3}-p_{3}q_{2}, p_{3}q_{1}-p_{1}q_{3}, p_{1}q_{2}-p_{2}q_{1}][/tex]? Hvilken formel brukes, eller vil slutning tas?

Jeg kan godt godta at det er sånn, men jeg vil veldig gjerne forstå. Derfor henvender jeg meg her, og regner med å få en forklaring på problemet/"problemet"!

[Vektormannen]

Regn ut slik du ville gjort om det var "normale" parenteser. Gang (kryssprodukt!) hvert ledd i den første parentesen med hvert ledd i den andre parentesen.

[tex](p_1q_1\vec{e_x} \times \vec{e_x} + p_1q_2 \vec{e_x} \times \vec{e_y} + p_1q_3 \vec{e_x} \times \vec{e_z}) + (p_2 q_1 \vec{e_y} \times \vec{e_x} + p_2q_2 \vec{e_y}\times \vec{e_y} + p_3q_3\vec{e_y} \times \vec{e_z}) + (p_3q_1 \vec{e_z} \times \vec{e_x} + p_3q_2 \vec{e_z} \times \vec{e_y} + p_3q_3 \vec{e_z} \times \vec{e_z})[/tex]

De leddene med kryssprodukt av like enhetsvektorer faller bort (siden kryssproduktet blir 0). De andre kryssproduktene blir nye enhetsvektorer, enten med positivt eller negativt fortegn. Hvis du samler sammen alle leddene med samme enhetsvektor og faktoriserer, får du den formen de har fått i boka (husk at [a,b,c] betyr [tex]a \vec{e_x} + b\vec{e_y} + c\vec{e_z}[/tex])

[andhou]

Jeg pleide å huske determinanten
[tex]\vec{a} \, \times \, \vec{b} = \left| \begin{array}{c c c} \vec{e_x} & \vec{e_y} & \vec{e_z} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{array} \right| = \vec{e_x}( a_y b_z - a_z b_y) - \vec{e_y}(a_x b_z - a_z b_x) +\vec{e_z}(a_x b_y - a_y b_x) [/tex]

Fremgangsmåte for å løse ut determinanten er gitt
ved at du ganger ex, ey og ez den determinanten som "blir igjen" når du ser bort ifra den raden og kollonna som hhv ex, ey, eller ez.

Står litt, om enn kanskje litt forvirrende, på http://mathworld.wolfram.com/Determinant.html

[FredrikM]

Jeg pleide å huske determinanten
[tex]\vec{a} \, \times \, \vec{b} = \left| \begin{array}{c c c} \vec{e_x} & \vec{e_y} & \vec{e_z} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{array} \right| = \vec{e_x}( a_y b_z - a_z b_y) - \vec{e_y}(a_x b_z - a_z b_x) +\vec{e_z}(a_x b_y - a_y b_x) [/tex]

Fremgangsmåte for å løse ut determinanten er gitt
ved at du ganger ex, ey og ez den determinanten som "blir igjen" når du ser bort ifra den raden og kollonna som hhv ex, ey, eller ez.

Står litt, om enn kanskje litt forvirrende, på http://mathworld.wolfram.com/Determinant.html

Dette er bare en huskeregel for kryssproduktet! Determinantformen sier ingenting om *hvorfor* kryssproduktet er definert akkurat slik. Det sier derimot Vektormannens forslag.

Nemlig å gange ut uttrykket [tex](a_1e_x+a_2e_y+a_3e_z)(b_1e_x+b_2e_y+b_3e_z)[/tex] og bruke at relasjonene matteboken nevner.