Trekantoppgave
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Så vidt jeg kan se, oppfylles kravet kun ved BAC=60 grader.
-
Nebuchadnezzar
- Fibonacci
- Posts: 5648
- Joined: 24/05-2009 14:16
- Location: NTNU
Dårlig løsning det her... Håper noen kan gi en bedre forklaring
O og H har samme kordinatene når trekanten er likesidet. Da har også M samme kordinater som O og H. Da befinner punktet M seg midt i trekanten.
Altså ligger M like langt fra B og C, og halverer derfor akkuratt BAC.
En likesidet trekant er alle vinklene like, og dermed er BAC 60 grader.
EDIT, dette var da merkelig... Virker som det stemmer alltid. Får vel prøve på denne senere.
EDIT2: Virker som det alltid stemmer når Trekanten er likebenet eller likesidet.
O og H har samme kordinatene når trekanten er likesidet. Da har også M samme kordinater som O og H. Da befinner punktet M seg midt i trekanten.
Altså ligger M like langt fra B og C, og halverer derfor akkuratt BAC.
En likesidet trekant er alle vinklene like, og dermed er BAC 60 grader.
EDIT, dette var da merkelig... Virker som det stemmer alltid. Får vel prøve på denne senere.
EDIT2: Virker som det alltid stemmer når Trekanten er likebenet eller likesidet.
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
Det er selvfølgelig helt riktig at alle likebeinte trekanter oppfyller kravet, ja. Jeg la ikke merke til at løsningen min bryter sammen i tilfellet der trekanten er likebeint, og glemte derfor også å legge ved det kravet i oppgaven (da blir det færre mulige verdier av vinkel BAC). Beklager rot, men her er en ny oppgaveformulering:
"For en ikke-degenerert og ikke-likebeint trekant ABC, la O og H være omsenteret og ortosenteret, og la M være midtpunktet av OH. Anta at linja AM halverer vinkel BAC. Hvilke mulige verdier kan vinkel BAC da ha?"
Jeg har dessverre ikke tid til å se over beviset ditt akkurat nå, men et moteksempel er en trekant der vinkel A er 60 grader, vinkel B er 90 grader og vinkel C er 30 grader. Da blir ortosenteret B, og omsenteret midpunktet Mav hypotenusen AC, og trekant AMC blir da likesidet, så vinkelhalveringslinjen i vinkel A går gjennom midpunktet av OH (=MB), men trekant ABC er ikke likebeint.
"For en ikke-degenerert og ikke-likebeint trekant ABC, la O og H være omsenteret og ortosenteret, og la M være midtpunktet av OH. Anta at linja AM halverer vinkel BAC. Hvilke mulige verdier kan vinkel BAC da ha?"
Jeg har dessverre ikke tid til å se over beviset ditt akkurat nå, men et moteksempel er en trekant der vinkel A er 60 grader, vinkel B er 90 grader og vinkel C er 30 grader. Da blir ortosenteret B, og omsenteret midpunktet Mav hypotenusen AC, og trekant AMC blir da likesidet, så vinkelhalveringslinjen i vinkel A går gjennom midpunktet av OH (=MB), men trekant ABC er ikke likebeint.
Oida, ser visst ut til at jeg har antatt at høydefotpunktene fra B og C ligger lenger unna A enn midtpunktene av AB og AC. Dessuten har jeg gjort en liten feil i likningene (som ikke hadde noen konsekvenser forøvrig). Glemte forresten også å nevne at jeg brukte nipunktssirkelen.
Det ble en del rot med redigeringen av forrige innlegg, så jeg legger liksågodt det nye beviset ut her og fjerner det gamle.
Det ble en del rot med redigeringen av forrige innlegg, så jeg legger liksågodt det nye beviset ut her og fjerner det gamle.
Last edited by Charlatan on 14/08-2010 02:08, edited 1 time in total.
La høyden fra B og C treffe AB og AC i B' og C' henholdsvis. La normalen fra O til AB og AC treffe linjene i C'' og B'' respektivt. Trekk normalen fra M ned på AB og AC til M' og M'' respektivt.
Siden vinklene BAM = CAM, så er trekantene AMM' og AMM'' kongruente ettersom de er rettvinklede og deler hypotenusen AM. Dermed er MM' = MM''. Siden M' og M'' er sentrum av linjene B'B'' og C'C'', og MM' og MM'' er normaler på de samme linjene, så har vi at MB' = MB'' og MC' = MC'', og av nipunktssirkelen er alle av de fire nevnte lengdene ekvivalente. Trekantene B'B''M og C'C''M altså begge likebeinte, formlike ettersom de deler toppvinkel siden MM'/MB' = MM''/MC', og kongruente ettersom vinkelbenene er like.
Dette medfører at AC' = AB'', eller AC'' = AB'', avhengig av hvor C' og B' ligger i forhold til C'' og B''. Sistnevnte medfører at AB = AC som betyr at ABC er likebeint, og det er umulig. Anta derfor at AC' = AB''. Det betyr at AC = 2AB'' = 2AC'. Siden ACC' er rettvinklet må er den altså en 30-60-90 trekant. Altså må BAC = 60 grader.
Anta nå at BAC = 60 grader. I så fall vil 2AC' = AB = 2AB'', og 2AB' = AC = AC'', ettersom AB'B og ACC' er 90-60-30 trekanter. Det betyr at AC'-AC'' = AB''-AB', eller C''C' = B'B''. Av nipunktssirkelen medfører dette at AB'B'' er kongruent med AC'C''. Det betyr at MM' = MM'', som betyr at AMM' og AMM'' er kongruente, noe som medfører at AM halverer BAC.
Siden vinklene BAM = CAM, så er trekantene AMM' og AMM'' kongruente ettersom de er rettvinklede og deler hypotenusen AM. Dermed er MM' = MM''. Siden M' og M'' er sentrum av linjene B'B'' og C'C'', og MM' og MM'' er normaler på de samme linjene, så har vi at MB' = MB'' og MC' = MC'', og av nipunktssirkelen er alle av de fire nevnte lengdene ekvivalente. Trekantene B'B''M og C'C''M altså begge likebeinte, formlike ettersom de deler toppvinkel siden MM'/MB' = MM''/MC', og kongruente ettersom vinkelbenene er like.
Dette medfører at AC' = AB'', eller AC'' = AB'', avhengig av hvor C' og B' ligger i forhold til C'' og B''. Sistnevnte medfører at AB = AC som betyr at ABC er likebeint, og det er umulig. Anta derfor at AC' = AB''. Det betyr at AC = 2AB'' = 2AC'. Siden ACC' er rettvinklet må er den altså en 30-60-90 trekant. Altså må BAC = 60 grader.
Anta nå at BAC = 60 grader. I så fall vil 2AC' = AB = 2AB'', og 2AB' = AC = AC'', ettersom AB'B og ACC' er 90-60-30 trekanter. Det betyr at AC'-AC'' = AB''-AB', eller C''C' = B'B''. Av nipunktssirkelen medfører dette at AB'B'' er kongruent med AC'C''. Det betyr at MM' = MM'', som betyr at AMM' og AMM'' er kongruente, noe som medfører at AM halverer BAC.
Last edited by Charlatan on 14/08-2010 13:17, edited 3 times in total.
Beklager, jeg så en feil i løsningen min - jeg overså det stumpvinklede tilfellet, og får en ekstra løsning der. Nå som jeg ser nærmere etter ser det forsåvidt også ut som du har gjort dette. Alt virker riktig til og med der du konkluderer med at ACC' er en 30-60-90-trekant. Så slutter av dette at BAC er 60 grader, som er sant dersom A er spiss, men om A er stump ligger C' på andre side av A enn B, og konklusjonen blir at A er 120 grader.
Min løsning begynner med å vise at trekant HOA er likebeint ved å vise at vinkel BAH = vinkel OAC. Dette er sant, da vinkel BAH opplagt er 90-B. Vinkel AOC er 2B, så vinkel OAC=90-B=vinkel BAH. Altså er vinkelhalveringslinja til vinkel BAC også vinkelhalveringslinje for vinkel HAO, og da denne går gjennom M er trekant HAO likebeint. Altså er HA=OA=OB.
Lar vi L være midtpunktet av BC er da trekant BLO en rettvinklet trekant. Da LO=2AH=2OB (dette er sant da homotetien med sentrum i tyngdepunktet til trekanten og faktor minus 0.5 bilder A på L, og H på O.) er den ene kateten halvparten så lang som hypotenusen, så BOL=60 grader, og BOC=2BOL=120 grader. Om A er spiss er vinkel A lik halvparten av vinkel BOC, og derfor 60 grader. Om A er stump er vinkel A pluss halvparten av vinkel BOC lik 180, så vinkel A blir 120. 60 og 120 er da de eneste mulige verdiene av vinkel A, og ved innsetting passer begge.
Min løsning begynner med å vise at trekant HOA er likebeint ved å vise at vinkel BAH = vinkel OAC. Dette er sant, da vinkel BAH opplagt er 90-B. Vinkel AOC er 2B, så vinkel OAC=90-B=vinkel BAH. Altså er vinkelhalveringslinja til vinkel BAC også vinkelhalveringslinje for vinkel HAO, og da denne går gjennom M er trekant HAO likebeint. Altså er HA=OA=OB.
Lar vi L være midtpunktet av BC er da trekant BLO en rettvinklet trekant. Da LO=2AH=2OB (dette er sant da homotetien med sentrum i tyngdepunktet til trekanten og faktor minus 0.5 bilder A på L, og H på O.) er den ene kateten halvparten så lang som hypotenusen, så BOL=60 grader, og BOC=2BOL=120 grader. Om A er spiss er vinkel A lik halvparten av vinkel BOC, og derfor 60 grader. Om A er stump er vinkel A pluss halvparten av vinkel BOC lik 180, så vinkel A blir 120. 60 og 120 er da de eneste mulige verdiene av vinkel A, og ved innsetting passer begge.