Tallteori
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Ble ikke en spesielt pen løsning, men tror det skal holde. Vil gjerne se flere løsninger på denne.
Anta at [tex]\frac{4n}{d(n)^2} = p[/tex] for et odde primtall p.
La [tex]n = 2^{e_0}p_1^{e_1}...p_k^{e_k}[/tex] der [tex]e_i >0[/tex], og [tex]e_0 \geq 0[/tex]. Siden [tex]d(n) = (e_0+1)(e_1+1)...(e_k+1)[/tex] og [tex]d(n) | n[/tex] må
[tex]e_i=2^{s_i}\prod_j p_j^{f_{ji}}-1[/tex] for et heltall [tex]s_i[/tex] for alle i for heltall [tex]f_{ij}[/tex].
Det betyr at eksponentene til [tex]2,p_1,...,p_k[/tex] i [tex]\frac{4n}{d(n)^2 [/tex]
er
[tex]2+2^{s_0}\prod_j p_j^{f_{j0}}-1-2\sum_i s_i \\ 2^{s_1}\prod_j p_j^{f_{j1}}-1-2\sum_i f_{1i}\\ ... \\ 2^{s_k}\prod_j p_j^{f_{jk}}-1-2\sum_i f_{ki}[/tex]
respektivt.
Hvis [tex]\frac{4n}{d(n)^2 [/tex] er et odde primtall p, er summen av eksponenter i primtallsfaktoriseringen (som består av samme primtall i faktoriseringen av n ovenfor) 1.
Nå er [tex]\prod_j p_j^{f_{ji}} \geq 3^{\sum_jf_{ji}} \geq 2\sum_jf_{ji}+1[/tex] som enkelt kan vises ved induksjon. Men det betyr at summen av alle eksponentene i [tex]\frac{4n}{d(n)^2 [/tex] er
[tex]2 -2\sum_i s_i+ \sum_i 2^{s_i}\prod_j p_j^{f_{ji}} -1 - 2 \sum_j f_{ij} \geq 2-2\sum_i s_i+\sum_i(2^{s_i}-1) + \sum_i \prod_j p_j^{f_{ji}} -1 - 2 \sum_j f_{ij} \\ \geq 2-2\sum_i s_i+\sum_i(2^{s_i}-1) + \sum_i 3^{\sum_jf_{ji}} -1 - 2 \sum_j f_{ij} \geq 2-2\sum_i s_i+\sum_i(2^{s_i}-1) + \sum_i 2\sum_jf_{ji}+1 -1 - 2 \sum_j f_{ij} = 2-2\sum_i s_i+\sum_i(2^{s_i}-1)[/tex]
Kun èn [tex]s_i[/tex] er positiv (siden alle eksponentene utenom en er partall (0)).
Men det betyr at [tex]1 \geq 2 + 2s_i+2^{s_i}-1 \Leftrightarrow 2s_i+2^{s_i} \leq 0[/tex], som er umulig.
Det vil si at ethvert odde primtall ikke kan skrives på den aktuelle formen, og det er et uendelig antall av dem.
Anta at [tex]\frac{4n}{d(n)^2} = p[/tex] for et odde primtall p.
La [tex]n = 2^{e_0}p_1^{e_1}...p_k^{e_k}[/tex] der [tex]e_i >0[/tex], og [tex]e_0 \geq 0[/tex]. Siden [tex]d(n) = (e_0+1)(e_1+1)...(e_k+1)[/tex] og [tex]d(n) | n[/tex] må
[tex]e_i=2^{s_i}\prod_j p_j^{f_{ji}}-1[/tex] for et heltall [tex]s_i[/tex] for alle i for heltall [tex]f_{ij}[/tex].
Det betyr at eksponentene til [tex]2,p_1,...,p_k[/tex] i [tex]\frac{4n}{d(n)^2 [/tex]
er
[tex]2+2^{s_0}\prod_j p_j^{f_{j0}}-1-2\sum_i s_i \\ 2^{s_1}\prod_j p_j^{f_{j1}}-1-2\sum_i f_{1i}\\ ... \\ 2^{s_k}\prod_j p_j^{f_{jk}}-1-2\sum_i f_{ki}[/tex]
respektivt.
Hvis [tex]\frac{4n}{d(n)^2 [/tex] er et odde primtall p, er summen av eksponenter i primtallsfaktoriseringen (som består av samme primtall i faktoriseringen av n ovenfor) 1.
Nå er [tex]\prod_j p_j^{f_{ji}} \geq 3^{\sum_jf_{ji}} \geq 2\sum_jf_{ji}+1[/tex] som enkelt kan vises ved induksjon. Men det betyr at summen av alle eksponentene i [tex]\frac{4n}{d(n)^2 [/tex] er
[tex]2 -2\sum_i s_i+ \sum_i 2^{s_i}\prod_j p_j^{f_{ji}} -1 - 2 \sum_j f_{ij} \geq 2-2\sum_i s_i+\sum_i(2^{s_i}-1) + \sum_i \prod_j p_j^{f_{ji}} -1 - 2 \sum_j f_{ij} \\ \geq 2-2\sum_i s_i+\sum_i(2^{s_i}-1) + \sum_i 3^{\sum_jf_{ji}} -1 - 2 \sum_j f_{ij} \geq 2-2\sum_i s_i+\sum_i(2^{s_i}-1) + \sum_i 2\sum_jf_{ji}+1 -1 - 2 \sum_j f_{ij} = 2-2\sum_i s_i+\sum_i(2^{s_i}-1)[/tex]
Kun èn [tex]s_i[/tex] er positiv (siden alle eksponentene utenom en er partall (0)).
Men det betyr at [tex]1 \geq 2 + 2s_i+2^{s_i}-1 \Leftrightarrow 2s_i+2^{s_i} \leq 0[/tex], som er umulig.
Det vil si at ethvert odde primtall ikke kan skrives på den aktuelle formen, og det er et uendelig antall av dem.
Ser der ja. Gjorde en fortegnsfeil i slutten ser jeg. Tåpelig feil. Men jeg tror at følgende modifisering skal fungere:
Anta heller at vi skal få p^2, ikke p, for et odde primtall p. Da følger vi samme argument, men har at summen av eksponenter er 2, og ennå er kun èn s_i positive (for hvis ikke er flere eksponenter positive). Vi får at
[tex]2 \geq 2-2s_i+2^{s_i}-1 \Leftrightarrow 2^{s_i} \leq 2s_i+1 \Rightarrow s_i = [/tex] 1 eller 2. Men det beyr at n = q eller q^2 for et primtall q. n = q er som du viste umulig, og for n=q^2 får vi at uttrykket er lik [tex]\frac{4q^2}{3}[/tex]. For at dette skal være et heltall må q = 3, som gir at uttrykket er lik 12. Det betyr at p^2 for ethvert odde primtall p ikke er på den aktuelle formen.
Anta heller at vi skal få p^2, ikke p, for et odde primtall p. Da følger vi samme argument, men har at summen av eksponenter er 2, og ennå er kun èn s_i positive (for hvis ikke er flere eksponenter positive). Vi får at
[tex]2 \geq 2-2s_i+2^{s_i}-1 \Leftrightarrow 2^{s_i} \leq 2s_i+1 \Rightarrow s_i = [/tex] 1 eller 2. Men det beyr at n = q eller q^2 for et primtall q. n = q er som du viste umulig, og for n=q^2 får vi at uttrykket er lik [tex]\frac{4q^2}{3}[/tex]. For at dette skal være et heltall må q = 3, som gir at uttrykket er lik 12. Det betyr at p^2 for ethvert odde primtall p ikke er på den aktuelle formen.
Jeg ser ikke hvorfor bare en [tex]s_i[/tex] kan være positiv, men det er sikkert bare meg som overser noe åpenbart. Ellers ser alt bra ut.
Litt enklere er det å vise at ingen odde kvadrater kan skrives på denne formen. Anta at [tex]\frac {4n} {(d(n))^2} =m^2 [/tex] for en eller annen [tex]n[/tex] der [tex]m[/tex] er odde. Vi har da [tex]n=\left ( \frac {m \cdot d(n)} 2 \right )^2[/tex], så [tex]n[/tex] er et kvadrattall. Men da er [tex]d(n)[/tex] et oddetall, så [tex]m^2=4\frac {n} {(d(n))^2}[/tex] er delelig med 4, som er umulig, da [tex]m[/tex] er odde.
Litt enklere er det å vise at ingen odde kvadrater kan skrives på denne formen. Anta at [tex]\frac {4n} {(d(n))^2} =m^2 [/tex] for en eller annen [tex]n[/tex] der [tex]m[/tex] er odde. Vi har da [tex]n=\left ( \frac {m \cdot d(n)} 2 \right )^2[/tex], så [tex]n[/tex] er et kvadrattall. Men da er [tex]d(n)[/tex] et oddetall, så [tex]m^2=4\frac {n} {(d(n))^2}[/tex] er delelig med 4, som er umulig, da [tex]m[/tex] er odde.