La [tex]P(x)[/tex] være et polynom med ikkenegative heltallskoeffisienter slik at [tex]P(1)[/tex] har minst to distinkte primfaktorer, og la følgen [tex]a_i[/tex] av positive heltall være definert ved [tex]a_{n+1}=P(a_n)[/tex] for [tex]n \geq 1[/tex], og [tex]a_0=c[/tex].
Gitt at følgen [tex]a_i[/tex] ikke er konstant fra noe punkt samme hvordan det positive heltallet [tex]c[/tex] velges, kan det la seg gjøre å velge [tex]c[/tex] på en slik måte at følgen kun består av sammensatte tall?
Følge av sammensatte (?) tall
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
La [tex]P(x) = b_0+b_1x+...+b_nx^n[/tex]. Der [tex]n>0[/tex], og [tex]b_n \not = 0[/tex].
Hvis [tex]b_0 = 0[/tex], velg [tex]c = 4[/tex]. Da vil selvsagt [tex]a_n[/tex] være et multippel av [tex]2[/tex] større enn [tex]2[/tex] for alle [tex]n[/tex].
Hvis [tex]b_0 > 1[/tex], velg [tex]c = 2b_0[/tex]. Da vil [tex]a_n[/tex] være et multippel av [tex]b_0[/tex] større enn [tex]b_0[/tex] for alle [tex]n[/tex].
Anta nå at [tex]b_0 = 1[/tex].
Siden [tex]P(1)[/tex] ikke er en potens av et primtall finnes to forskjellige primtall [tex]p[/tex] og [tex]q[/tex] som deler [tex]P(1)[/tex].
La [tex]x[/tex] være en løsning på [tex]px = 1 \pmod{q}[/tex]. Definer [tex]c = p(q+x)[/tex]. Da er [tex]c = 0 \pmod{p}[/tex], og [tex]c = 1 \pmod{q}[/tex]. Dermed er [tex]a_1=P(c) = P(0)=1 \pmod{p}[/tex], og [tex]P(c) = P(1) = 0 \pmod{q}[/tex]. På samme måte er [tex]a_2 = 0 =a_0\pmod{p}[/tex], og [tex]a_2=1=a_0 \pmod{q}[/tex]. Fortsetter vi slik ser vi at ved induksjon vil [tex]a_n[/tex] enten deles av [tex]p[/tex] eller [tex]q[/tex].
Hvis [tex]b_0 = 0[/tex], velg [tex]c = 4[/tex]. Da vil selvsagt [tex]a_n[/tex] være et multippel av [tex]2[/tex] større enn [tex]2[/tex] for alle [tex]n[/tex].
Hvis [tex]b_0 > 1[/tex], velg [tex]c = 2b_0[/tex]. Da vil [tex]a_n[/tex] være et multippel av [tex]b_0[/tex] større enn [tex]b_0[/tex] for alle [tex]n[/tex].
Anta nå at [tex]b_0 = 1[/tex].
Siden [tex]P(1)[/tex] ikke er en potens av et primtall finnes to forskjellige primtall [tex]p[/tex] og [tex]q[/tex] som deler [tex]P(1)[/tex].
La [tex]x[/tex] være en løsning på [tex]px = 1 \pmod{q}[/tex]. Definer [tex]c = p(q+x)[/tex]. Da er [tex]c = 0 \pmod{p}[/tex], og [tex]c = 1 \pmod{q}[/tex]. Dermed er [tex]a_1=P(c) = P(0)=1 \pmod{p}[/tex], og [tex]P(c) = P(1) = 0 \pmod{q}[/tex]. På samme måte er [tex]a_2 = 0 =a_0\pmod{p}[/tex], og [tex]a_2=1=a_0 \pmod{q}[/tex]. Fortsetter vi slik ser vi at ved induksjon vil [tex]a_n[/tex] enten deles av [tex]p[/tex] eller [tex]q[/tex].