matematikk.net

mat2400 på UiO

Spørsmålsformulering
La K være en lukket og begrenset delmengde av [tex][\mathbb{R}^m[/tex]. La [tex]f : K \to \mathbb{R}[/tex] være en kontinuerlig funksjon. Vis at mengden [tex]L = \{(x, f(x)) : x\in K\} \subset \mathbb{R}^{m+1}[/tex] er lukket begrenset.

Tilnærming
[tex]f : K \to \mathbb{R}[/tex] er uniformt kontinuerlig ut fra definisjonen. Er det slik at mengden i [tex]\mathbb{R}^{m+1}[/tex] er et tangentplan?

Er på ganske ustødig grunn her, så hadde satt pris på om noen kunne gitt meg et hint eller to på hvilke teoremer eller fremgangsmetoder som kan hjelpe..

Jeg vet ikke om fremgangsmåten din fører fram, men en ting som virker er å se litt på hva det vil si at mengder er lukkede og begrensede. Du kan vise at menden [tex](x, f(x))[/tex] er begrenset ved å vise at de to 'komponentene' begge er begrenset. For å vise at den er lukket må du vise at enhver konvergent følge i L har grensen sin i L, med andre ord at om du har en følge [tex](x_n, f(x_n))[/tex] i L som konvergerer mot [tex](X, Y)[/tex] skal du vise at [tex](X,Y) \in L[/tex], dvs at [tex]X \in K[/tex] og [tex]f(X)=Y[/tex]. Trenger du et hint for å komme i gang kan det være at om du har en følge [tex]a_n[/tex] som konvergerer mot et tall [tex]A[/tex] vil følgen [tex]f(a_n)[/tex] også konvergere om [tex]f[/tex] er kontinuerlig.