Lukket og begrenset mengde i høyere dimsenjsoner

[marthho]

mat2400 på UiO

Spørsmålsformulering
La K være en lukket og begrenset delmengde av [tex][\mathbb{R}^m[/tex]. La [tex]f : K \to \mathbb{R}[/tex] være en kontinuerlig funksjon. Vis at mengden [tex]L = \{(x, f(x)) : x\in K\} \subset \mathbb{R}^{m+1}[/tex] er lukket begrenset.

Tilnærming
[tex]f : K \to \mathbb{R}[/tex] er uniformt kontinuerlig ut fra definisjonen. Er det slik at mengden i [tex]\mathbb{R}^{m+1}[/tex] er et tangentplan?

Er på ganske ustødig grunn her, så hadde satt pris på om noen kunne gitt meg et hint eller to på hvilke teoremer eller fremgangsmetoder som kan hjelpe..

[Karl_Erik]

Jeg vet ikke om fremgangsmåten din fører fram, men en ting som virker er å se litt på hva det vil si at mengder er lukkede og begrensede. Du kan vise at menden [tex](x, f(x))[/tex] er begrenset ved å vise at de to 'komponentene' begge er begrenset. For å vise at den er lukket må du vise at enhver konvergent følge i L har grensen sin i L, med andre ord at om du har en følge [tex](x_n, f(x_n))[/tex] i L som konvergerer mot [tex](X, Y)[/tex] skal du vise at [tex](X,Y) \in L[/tex], dvs at [tex]X \in K[/tex] og [tex]f(X)=Y[/tex]. Trenger du et hint for å komme i gang kan det være at om du har en følge [tex]a_n[/tex] som konvergerer mot et tall [tex]A[/tex] vil følgen [tex]f(a_n)[/tex] også konvergere om [tex]f[/tex] er kontinuerlig.