Påfølgende heltall
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Ingen av tallene kan kun ha felles primfaktorer under 10, dvs 2,3,5 og 7, for hvis to tall begge var multipler av et primtall større enn 10, ville differansen være et multippel av et tall større enn 10 og det er umulig.
Hvis vi kan finne et tall som ikke er et multippel av 2,3,5 eller 7 så er det relativt primsk med resten.
Det kan maksimalt være 5 multipler av 2.
Det er maksimalt 4 multipler av 3, men minst 2 av disse er allerede multipler av 2.
Det er maksimalt 2 multipler av 5, men minst ett av disse er allerede et multippel av 2, og det er maksimalt 2 multipler av 7, og minst ett av disse er et multippel av 2.
Det betyr at vi maksimalt kan finne 5 +(4-2)+(2-1)+(2-1)=9 heltall som er multipler av 2,3,5 eller 7, og vi sitter igjen med minst ett tall som ikke er det, og dermed relativt primsk med resten.
Hvis vi kan finne et tall som ikke er et multippel av 2,3,5 eller 7 så er det relativt primsk med resten.
Det kan maksimalt være 5 multipler av 2.
Det er maksimalt 4 multipler av 3, men minst 2 av disse er allerede multipler av 2.
Det er maksimalt 2 multipler av 5, men minst ett av disse er allerede et multippel av 2, og det er maksimalt 2 multipler av 7, og minst ett av disse er et multippel av 2.
Det betyr at vi maksimalt kan finne 5 +(4-2)+(2-1)+(2-1)=9 heltall som er multipler av 2,3,5 eller 7, og vi sitter igjen med minst ett tall som ikke er det, og dermed relativt primsk med resten.
-
Fibonacci92
- Abel
- Posts: 665
- Joined: 27/01-2007 22:55
Follow-up:
Vis at av 6 påfølgende heltall vil alltid minst et av tallene ha en primfaktor som ingen av de andre fem tallene har.
Vis at av 6 påfølgende heltall vil alltid minst et av tallene ha en primfaktor som ingen av de andre fem tallene har.
Om noen av tallene (si [tex]a[/tex]) er delelige med et primtall [tex]p[/tex] større enn eller lik 7 følger konklusjonen, da dette primtallet umulig kan dele et annet av tallene (si [tex]b[/tex]), da vi da hadde hatt [tex]p|a-b\leq 5<p[/tex]. Altså holder det å vise at det blant 6 på følgende heltall finnes et tall som ikke er delelig med 2, 3 eller 5.
Dette følger av samme type argument som Charlatan kom med: Nøyaktig 3 av tallene er delelige med 2, og nøyaktig 2 er delelige med 3. Nøyaktig 1 er delelig med både 2 og 3, så blant de seks tallene finnes to tall som ikke er delelige med 2 eller 3. Om bare ett av de seks tallene er delelige med 5 må en av disse to ikke være delelige med 2, 3 eller 5, og da er vi ferdige. Om to av de seks tallene er delelige med 5 må en av dem også være delelige med 2, så av de to tallene som ikke er delelige med 2 eller 3 er høyst én delelig med 5, som gir at en av dem ikke er delelige med 2, 3 eller 5, og vi er ferdige, da dette tallet må ha en primfaktor som ikke er 2, 3 eller 5, og derfor minst 7, og som nevnt tidligere kan denne da ikke dele noe annet av tallene.
Det vil si - vi er ferdige om vi ser spesielt på tilfellet der tallet vi 'finner' med denne metoden er 1 eller -1, da dette ikke har noen primfaktorer. Altså må vi se spesielt på tilfellene der det minste tallet er lik -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0 eller 1. (Om du mente positive heltall sparer vi oss for noe arbeid.) I alle tilfeller bortsett fra -6 og 1 er 0 ett av tallene, og da null er delelig med alle primtall har vi på sett og vis en motsigelse litt avhengig av hva man legger i primfaktor. Definerer vi null til ikke å ha noen primfaktorer ser vi at konklusjonen holder uansett. (Begrenser vi oss til positive heltall ser vi at bare tilfellet der det minste tallet er 1 er relevant, og da er 5 et tall som oppfyller kravet vårt.)
Dette følger av samme type argument som Charlatan kom med: Nøyaktig 3 av tallene er delelige med 2, og nøyaktig 2 er delelige med 3. Nøyaktig 1 er delelig med både 2 og 3, så blant de seks tallene finnes to tall som ikke er delelige med 2 eller 3. Om bare ett av de seks tallene er delelige med 5 må en av disse to ikke være delelige med 2, 3 eller 5, og da er vi ferdige. Om to av de seks tallene er delelige med 5 må en av dem også være delelige med 2, så av de to tallene som ikke er delelige med 2 eller 3 er høyst én delelig med 5, som gir at en av dem ikke er delelige med 2, 3 eller 5, og vi er ferdige, da dette tallet må ha en primfaktor som ikke er 2, 3 eller 5, og derfor minst 7, og som nevnt tidligere kan denne da ikke dele noe annet av tallene.
Det vil si - vi er ferdige om vi ser spesielt på tilfellet der tallet vi 'finner' med denne metoden er 1 eller -1, da dette ikke har noen primfaktorer. Altså må vi se spesielt på tilfellene der det minste tallet er lik -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0 eller 1. (Om du mente positive heltall sparer vi oss for noe arbeid.) I alle tilfeller bortsett fra -6 og 1 er 0 ett av tallene, og da null er delelig med alle primtall har vi på sett og vis en motsigelse litt avhengig av hva man legger i primfaktor. Definerer vi null til ikke å ha noen primfaktorer ser vi at konklusjonen holder uansett. (Begrenser vi oss til positive heltall ser vi at bare tilfellet der det minste tallet er 1 er relevant, og da er 5 et tall som oppfyller kravet vårt.)
La det første tallet være n. Hvis noen av dem har en primfaktor større enn 5, så kan ingen andre ha den, så vi antar det ikke er tilfellet. Et av dem er delelig med 5, og hvis n ikke er det, er det det eneste, så vi antar videre at n tallet er delelig med 5.
Det betyr at 4 etterfølgende tall kun har 2 og 3 som primfaktorer. 2 av dem er nødvendigvis ikke delelige med 3, så begge er potenser av 2. Men det betyr at det ene tallet er dobbelt så stort som det andre.
La det minste være [tex]2^k[/tex]. Siden de er blant 4 etterfølgende heltall er det neste [tex]2^s=2^k+2[/tex]. Men s > k, så [tex]2^k+2 \geq 2^{k+1} \Rightarrow 2^{k} \leq 2 \Rightarrow[/tex] k = 1 eller 0.
Da er [tex]n \leq 2^1+5=7[/tex]. De eneste følgene som er mulige da er 0,1,2,3,4,5 og 5,6,7,8,9,10. Den første tilfredsstiller ikke kriteriet siden 0 er delelig med enhver primfaktor. Det andre tilfredsstiller kriteriet.
Hvis vi ikke lar 0 inngå gjelder kriteriet for alle følger.
EDIT:
Der kom du meg visst i forkjøpet.
Jeg har antatt at det er snakk om positive tall. For negative heltall kan vi bruke samme argument ved å snu fortegnet. Den eneste muligheten for at det ikke er kun negative tall er -5,-4,-3,-2,-1,0. Men denne følgen er ikke blant de vi tillater.
Det betyr at 4 etterfølgende tall kun har 2 og 3 som primfaktorer. 2 av dem er nødvendigvis ikke delelige med 3, så begge er potenser av 2. Men det betyr at det ene tallet er dobbelt så stort som det andre.
La det minste være [tex]2^k[/tex]. Siden de er blant 4 etterfølgende heltall er det neste [tex]2^s=2^k+2[/tex]. Men s > k, så [tex]2^k+2 \geq 2^{k+1} \Rightarrow 2^{k} \leq 2 \Rightarrow[/tex] k = 1 eller 0.
Da er [tex]n \leq 2^1+5=7[/tex]. De eneste følgene som er mulige da er 0,1,2,3,4,5 og 5,6,7,8,9,10. Den første tilfredsstiller ikke kriteriet siden 0 er delelig med enhver primfaktor. Det andre tilfredsstiller kriteriet.
Hvis vi ikke lar 0 inngå gjelder kriteriet for alle følger.
EDIT:
Der kom du meg visst i forkjøpet.
Jeg har antatt at det er snakk om positive tall. For negative heltall kan vi bruke samme argument ved å snu fortegnet. Den eneste muligheten for at det ikke er kun negative tall er -5,-4,-3,-2,-1,0. Men denne følgen er ikke blant de vi tillater.