Kvadrat- og primtall

[Karl_Erik]

Finn alle [tex]n \in \mathbb{N}^+[/tex] slik at [tex]2n+1[/tex] og [tex]3n+1[/tex] begge er kvadrattall og [tex]5n+3[/tex] er et primtall.

[Charlatan]

La [tex]2n+1=a^2[/tex], og [tex]3n+1=b^2[/tex]. Da er [tex]5n+3=4(2n+1)-(3n+1)=4a^2-b^2=(2a-b)(2a+b)[/tex]. Altså må [tex]2a=b+1[/tex] siden [tex]5n+3[/tex] er et primtall. Men

[tex]2\sqrt{2n+1} = \sqrt{3n+1}+1 \Rightarrow (25n+8)n = 0[/tex].

Det er altså ingen løsninger.