matematikk.net

Greetings.

[tex]z^3 + 8[/tex]

Finn komplekse og reele faktoriseringer av polynomet.

LØSNING (UFERDIG):

[tex]z^3 = 8e^{i*pi}[/tex]

første røtten:

W0 = [tex]^3sqrt{8}e^{i*\frac{pi}{3}} = 2e^{i*\frac{pi}{3}} = 2(cos (\frac{pi}{3}) + i sin (\frac{pi}{3})) = 1+i*sqrt{3}[/tex]

Dette er vel den første røtten, men fasiten har [tex](z+2)(z-1-i*sqrt{3})(z-1+i*sqrt{3})[/tex].

Hva er det jeg gjør galt?

Først et nyttig faktum:

Siden koeffisientene til polynomet er reelle, vil den komplekskonjugerte til en eventuell kompleks rot også være en rot. Dermed får du den andre løsningen slik den er i fasit.

For å finne alle røtter:

Bruk at [tex]-1= e^{\pi i+2\pi n i}[/tex] for alle heltall n.