En liten kveldsoppgave

[Gustav]

Løs ligningen

[tex](2^x-4)^3+(4^x-2)^3=(4^x+2^x-6)^3[/tex]

[moth]

Eneste mulighet for at det er en heltallig løsning (som jeg regnet med at det var) er hvis et av leddene på venstre side er 0. Det blir det første leddet ved x=2 og da er også de to andre leddene lik. Altså, en løsning er x=2.
Kanskje dårlig besvarelse men skal prøve å regne den ut og.

[Gustav]

Det er flere løsninger også, ikke nødvendigvis heltallige

[moth]

Jepp, tenkte det. Prøvde å løse den men finner ikke ut av det.

[Charlatan]

Dersom [tex]x=1[/tex], er begge sidene lik 0. Bruker man at [tex]a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)[/tex] og utelukker [tex]x=1[/tex] får man denne tredjegradslikningen:

[tex]y^3-4y^2-2y+8=0[/tex] hvor [tex]y=2^x[/tex].
Vi observerer at [tex]y=4[/tex] er en løsning, polynomdividerer og finner ut at de andre løsnignene er [tex]y=\pm \sqrt{2}[/tex]. Alle løsninger er da [tex]x=1,x=2[/tex] og [tex]x=\frac{1}{2}[/tex].

[Gustav]

Riktig