Sum og permutasjon

[mrcreosote]

Fins det en permutasjon p av {1,2,...} slik at [tex]\sum_{n=1}^\infty\frac{p(n)}{n^2}[/tex] konvergerer?

[Charlatan]

Av rearrangementteoremet er

[tex]\sum^k_{n=1} \frac{p(n)}{n^2} \geq \sum^k_{n=1} \frac{k+1-n}{n^2}>\sum^k_{n=1} \frac{k}{n^2}-\frac{1}{n} \geq k-\sum^k_{n=1} \frac{1}{n}=\sum^k_{n=1} \frac{n-1}{n}[/tex]

for enhver [tex]k[/tex] og [tex]p(n)[/tex].

[tex]\sum^k_{n=1} \frac{p(n)}{n^2} > \sum^k_{n=1} \frac{n-1}{n} \Rightarrow \sum^{\infty}_{n=1} \frac{p(n)}{n^2}=\lim_{k \to \infty} \sum^k_{n=1} \frac{p(n)}{n^2} > \lim_{k \to \infty} \sum^k_{n=1} \frac{n-1}{n}=\infty[/tex]

Summen kan altså ikke konvergere for noen [tex]p(n)[/tex].

[Charlatan]

Oppfølger:

La [tex]P_1,P_2,...,P_n[/tex] være partisjoner av [tex]\{ 1,2,...,2n \}[/tex] hvor [tex]P_i[/tex] har to elementer. La [tex]p_i[/tex] betegne produktene av elementene i [tex]P_i[/tex].

Vis at [tex]\sum^{n}_{k=1} \frac{1}{p_k} \ < \ 1[/tex]

[Gustav]

Må vise at [tex]\sum_{k=1}^n \frac{(2n)!}{p_k}<(2n)![/tex]

Summen av to vilkårlige ledd i summen til venstre er på formen
[tex]\frac{(2n)!}{abcd}(ab+cd)[/tex] der f.eks. ab og cd er produktene til elementene i to partisjoner.

Dette uttrykket er størst dersom, for [tex]a<c [/tex], [tex]b<d[/tex] ifølge Rearrangement ulikheta. Hvis b>d kan vi bytte de om. Fortsetter vi denne prosessen med å plukke ut to og to ledd og ordne om, vil vi til slutt få en øvre grense for venstresida som er gitt ved

[tex]\frac{(2n)!}{1*2}+\frac{(2n)!}{3*4}+...=(2n)!\sum_{k=1}^n{\frac{1}{(2k-1)(2k)}<(2n)![/tex]

[mrcreosote]

En oppfølger til den første: Kan summen divergere om vi erstatter eksponenten 2 med 3?

[Charlatan]

Vi ser på [tex]\sum^k_{n=1}\frac{p(n)}{n^3}[/tex] hvor [tex]p(n)[/tex] er en permutasjon av [tex]\{ 1,2,...,k \}[/tex]. Setter vi [tex]p(n)=n[/tex], får vi at summen blir

[tex]\sum^{k}_{n=1} \frac{1}{n^2}<1+\int^k_1 \frac{1}{x^2} \rm{d}x=2-\frac{1}{k} \Rightarrow \sum^{\infty}_{n=1} \frac{p(n)}{n^3}=\sum^{\infty}_{n=1} \frac{1}{n^2} < \lim_{k \to \infty} \sum^{k}_{n=1} \frac{1}{n^2}<\lim_{k \to \infty} 2-\frac{1}{k}=2[/tex]

Burde kanskje ha presisert at [tex]p(n)[/tex] er en permutasjon av [tex]\{ 1,2,...,k \}[/tex] i den forrige løsningen og...

[mrcreosote]

Joda, men spørsmålet var om summen kan divergere for noen permutasjon p.

[Charlatan]

Åh, leste feil.

Nå innså jeg at svaret på første spørsmål også er feil. Det er [tex]p(n) = n[/tex] som minimerer summen. Velger vi [tex]p(n) = n[/tex] får vi åpenbart at summen divergerer.