matematikk.net

La x være et rasjonalt tall og y et irrasjonalt tall. Gi et indirekte bevis doe at x/y er et irrasjonalt tall.

Indirekte bevis vil jo si at man antar at påstanden IKKE er riktig. Det betyr vel at man antar at

x rasjonalt tall, y irrasjonalt tall --> (impliserer) x/y rasjonalt.
Hvordan går man videre? Rasjonale tall kan jo skrives som a/b. Men irrasjonale...? Står litt fast, her.

Du har begynt riktig.

x er rasjonalt og y er irrasjonalt. Du antar at x/y ikke er irrasjonalt. Altså blir det et rasjonalt tall. Men det kan du skrive som:

[tex]\frac{x}{y} = a[/tex], der a er rasjonalt.

og så klarer du kanskje å avslutte?

Nei... hvis x er rasjonalt kan det skrives som a/b. Men hvordan kan jeg uttrykke y?

Målet er jo å komme frem til noe som er umulig, som da betyr at antagelsen du gjorde må være feil.

Som du sier kan x skrives som en brøk siden den er rasjonal, og det samme kan a. Hva skjer om du får det irrasjonale tallet y alene?

OK

x rasjonalt, y irrasjonalt --> x/y rasjonalt (skal få selvmotsigelse her)

x = a/b, y=y (og ikke a/b)
Da er x/y = a/b : y = a/by. Greia er: hvis y er et irrasjonalt tall, må jeg kanskje da også vise at by blir irrasjonalt? Men dette skal jo så deles med a...? Hmm...

Kunne du ha vist hele beviset?

Tar det veldig grundig.

Vi skal bevise at for et rasjonalt tall x og et irrasjonalt tall y så er x/y irrasjonalt.

Vi beviser ved indirekte bevis, og antar da:
x/y ikke er irrasjonalt.
Dette er det samme som:
x/y er rasjonalt.

Vi kan skrive dette som
[tex]\frac{x}{y} = z[/tex], der z er et rasjonalt tall.

Vi får y alene på den ene siden.
[tex]x = yz[/tex]

[tex]\frac{x}{z} = y[/tex]

Siden x og z er rasjonale, kan de skrives som brøkene a/b og c/d der
a,b,c og d er heltall.

[tex]\frac{a}{b}/\frac{c}{d} = y[/tex]

Når vi deler med en brøk, er det tilsvarende som å snu den siste og gange de sammen. Vi får da til slutt:
[tex]y = \frac{ad}{bc}[/tex]

Men y er irrasjonalt, og kan ikke skrives som en brøk. Derfor er konklusjonen vår umulig, og da må antagelsen være gal.

x/y er derfor irrasjonalt.

Edit: skriveleif.

Grunnen til at jeg ble usikker, er at vi skal bevise i høyre-retning, altså at det til venstre medfører det til høyre. Men her tar du jo utgangspunkt i det til høyre og viser at det ikke kan medføre det til venstre... Burde man ikke følge pila? F.eks. x^2 = 4 <-- x=2, men x^2 = 4 --> IKKE x=2 (pga. må ha med x=-2 som en løsning)

Er du mattelærer, forresten, eller en ivrig student?

Litt usikker på hva du mener...

Slik jeg ser det:
Teorem
x/y er irrasjonalt når x er rasjonalt og y er irrasjonalt.

Indirekte bevis:
Antar x/y blir rasjonalt
[tex]\Rightarrow[/tex]
y = rasjonalt tall. Selvmotsigelse.
[tex]\Rightarrow[/tex]
x/y er irrasjonalt.

Jeg er masterstudent.