Hjelp til en bevisoppgave...?

[Matte-er-gøy]

La x være et rasjonalt tall og y et irrasjonalt tall. Gi et indirekte bevis doe at x/y er et irrasjonalt tall.

Indirekte bevis vil jo si at man antar at påstanden IKKE er riktig. Det betyr vel at man antar at

x rasjonalt tall, y irrasjonalt tall --> (impliserer) x/y rasjonalt.
Hvordan går man videre? Rasjonale tall kan jo skrives som a/b. Men irrasjonale...? Står litt fast, her.

[Markonan]

Du har begynt riktig.

x er rasjonalt og y er irrasjonalt. Du antar at x/y ikke er irrasjonalt. Altså blir det et rasjonalt tall. Men det kan du skrive som:

[tex]\frac{x}{y} = a[/tex], der a er rasjonalt.

og så klarer du kanskje å avslutte?

[Matte-er-gøy]

Nei... hvis x er rasjonalt kan det skrives som a/b. Men hvordan kan jeg uttrykke y?

[Markonan]

Målet er jo å komme frem til noe som er umulig, som da betyr at antagelsen du gjorde må være feil.

Som du sier kan x skrives som en brøk siden den er rasjonal, og det samme kan a. Hva skjer om du får det irrasjonale tallet y alene?

[Matte-er-gøy]

OK

x rasjonalt, y irrasjonalt --> x/y rasjonalt (skal få selvmotsigelse her)

x = a/b, y=y (og ikke a/b)
Da er x/y = a/b : y = a/by. Greia er: hvis y er et irrasjonalt tall, må jeg kanskje da også vise at by blir irrasjonalt? Men dette skal jo så deles med a...? Hmm...

Kunne du ha vist hele beviset?

[Markonan]

Tar det veldig grundig.

Vi skal bevise at for et rasjonalt tall x og et irrasjonalt tall y så er x/y irrasjonalt.

Vi beviser ved indirekte bevis, og antar da:
x/y ikke er irrasjonalt.
Dette er det samme som:
x/y er rasjonalt.

Vi kan skrive dette som
[tex]\frac{x}{y} = z[/tex], der z er et rasjonalt tall.

Vi får y alene på den ene siden.
[tex]x = yz[/tex]

[tex]\frac{x}{z} = y[/tex]

Siden x og z er rasjonale, kan de skrives som brøkene a/b og c/d der
a,b,c og d er heltall.

[tex]\frac{a}{b}/\frac{c}{d} = y[/tex]

Når vi deler med en brøk, er det tilsvarende som å snu den siste og gange de sammen. Vi får da til slutt:
[tex]y = \frac{ad}{bc}[/tex]

Men y er irrasjonalt, og kan ikke skrives som en brøk. Derfor er konklusjonen vår umulig, og da må antagelsen være gal.

x/y er derfor irrasjonalt.

Edit: skriveleif.

[Matte-er-gøy]

Grunnen til at jeg ble usikker, er at vi skal bevise i høyre-retning, altså at det til venstre medfører det til høyre. Men her tar du jo utgangspunkt i det til høyre og viser at det ikke kan medføre det til venstre... Burde man ikke følge pila? F.eks. x^2 = 4 <-- x=2, men x^2 = 4 --> IKKE x=2 (pga. må ha med x=-2 som en løsning)

Er du mattelærer, forresten, eller en ivrig student?

[Markonan]

Litt usikker på hva du mener...

Slik jeg ser det:
Teorem
x/y er irrasjonalt når x er rasjonalt og y er irrasjonalt.

Indirekte bevis:
Antar x/y blir rasjonalt
[tex]\Rightarrow[/tex]
y = rasjonalt tall. Selvmotsigelse.
[tex]\Rightarrow[/tex]
x/y er irrasjonalt.

Jeg er masterstudent.