Komplekse ulikheter i det komplekse planet.

[Betelgeuse]

Arbeider nå med komplekse tall i det komplekse planet hvor jeg er på en del av oppgavene hvor jeg skal skissere komplekse tall som oppfyller div. ulikheter. F.eks
[tex]\left{\, z\, |\, |z-1|<2 \,\right}[/tex]



Jeg vet at z-1 er et nytt komplekst tall. Hvis [tex]z=x+iy[/tex], så er [tex]z-1=(x-1)+iy[/tex]. Videre vet jeg at når man geometrisk betrakter komplekse tall så vil [tex]|z-1|[/tex] være radien eller modulus til denne "vektoren". Dvs at vi får ulikheten

[tex]|z-1|=\sqrt{(x-1)^2+y^2}\ <\, 2\, \Leftrightarrow\ (x-1)^2+y^2\,<\,4[/tex]

og siden vi har relasjonene [tex]x^2+y^2=r^2\ x=rcos\theta[/tex] får vi etter litt manipulasjon

[tex]r^2-2rcos\theta\,<\,3[/tex]

men så sier det foreløbig stopp for meg. Jeg tenker at målet må være å få ulikheten på formen r < n for når jeg vet hva radiusen må være større enn kan jeg lett skravere inn et området i planet som oppfyller dette. Tenker jeg riktig da? Noen som har noen forslag til hvordan jeg går videre for å løse denne ulikheten?

[Gustav]

Arbeider nå med komplekse tall i det komplekse planet hvor jeg er på en del av oppgavene hvor jeg skal skissere komplekse tall som oppfyller div. ulikheter. F.eks
[tex]\left{\, z\, |\, |z-1|<2 \,\right}[/tex]



Jeg vet at z-1 er et nytt komplekst tall. Hvis [tex]z=x+iy[/tex], så er [tex]z-1=(x-1)+iy[/tex]. Videre vet jeg at når man geometrisk betrakter komplekse tall så vil [tex]|z-1|[/tex] være radien eller modulus til denne "vektoren". Dvs at vi får ulikheten

[tex]|z-1|=\sqrt{(x-1)^2+y^2}\ <\, 2\, \Leftrightarrow\ (x-1)^2+y^2\,<\,4[/tex]

og siden vi har relasjonene [tex]x^2+y^2=r^2\ x=rcos\theta[/tex] får vi etter litt manipulasjon

[tex]r^2-2rcos\theta\,<\,3[/tex]

men så sier det foreløbig stopp for meg. Jeg tenker at målet må være å få ulikheten på formen r < n for når jeg vet hva radiusen må være større enn kan jeg lett skravere inn et området i planet som oppfyller dette. Tenker jeg riktig da? Noen som har noen forslag til hvordan jeg går videre for å løse denne ulikheten?

Dette er ikke veien å gå. Man ser umiddelbart at området vil være en åpen disk med sentrum i z=1 og radius 2.

[Betelgeuse]

Kan du fort forklare hvorfor man umiddelbart ser dette?

[Gustav]

[tex](x-1)^2+y^2\,<\,4[/tex]

Sammenlign med ligninga for en sirkel med sentrum i (a,b):

[tex](x-a)^2+(y-b)^2=r^2[/tex].

[tex]\mathbb{C}[/tex] er jo på mange måter sammenlignbart med [tex]\mathbb{R^2}[/tex]

[Betelgeuse]

Ah. Ja det er jo opplagt. I thank you mister!