Integral sin^2 x dx. Hvorfor blir det 1/2 integralet

[onkelskrue]

[symbol:integral] sin^2 xdx a=0 b= [symbol:pi]

integrerer og får x-sinx cosx

[x-sinx cosx] a=0 b= [symbol:pi]

I mitt løsningsforslag står det 1/2 foran. Hvorfor blir det slik. Står ikke i formelen. Løser den på kalkulatoren og får med rett riktig svar når jeg setter 1/2 foran:-o

Noen som kan forklare meg hvorfor det her settes 1/2 foran. Ved andre tilfeller det også gir riktig svar??

[ettam]

[tex]\int sin^2 x dx = \frac12 \int (1+cos 2x) dx = \frac12 ( x - \frac12 sin 2x) + C = \frac12 (x - sin x \cdot cos x) + C[/tex]

Her har jeg bruk noen trigonometriske identiteter.

EDIT: De trigonometriske identitetene finner du her.

[ettam]

[tex]\int_0^{\pi} sin^2 x dx = \left[\frac12 (x - sin x \cdot cos x)\right]_0^{\pi} = \left(\frac12 (\pi - sin \pi \cdot cos \pi -(0 - sin 0 \cdot cos 0)\right) = \frac{\pi}{2}[/tex]

[onkelskrue]

[tex]\int_0^{\pi} sin^2 x dx = \left[\frac12 (x - sin x \cdot cos x)\right]_0^{\pi} = \left(\frac12 (\pi - sin \pi \cdot cos \pi -(0 - sin 0 \cdot cos 0)\right) = \frac{\pi}{2}[/tex]

Men hva er så grunnen til at det skal være 1/2 foran. Står ikke i formelen eller noen av identitetene:-o

[Markonan]

Det letteste er å bruke en trigonometrisk identitet på denne. Se wikipedia:
http://en.wikipedia.org/wiki/Trigonomet ... n_formulas

[tex]\sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2} = \frac{1}{2}(1 - \cos(2x))[/tex]

Det gjør integralet ditt til følgende, fordi du kan sette konstanter utenfor integralet:
[tex]\int \sin^2(x)dx = \frac{1}{2}\int 1 - \cos(2x)dx[/tex]

Her ser du hvorfor du får en halv foran!

[ettam]

Det var jo det jeg gjorde i mitt svar

[Markonan]

Utrolig at jeg ikke så det!