Gauselliminasjon

[kjellsprell]

x1+x2+x3=1
x1+2x2+ax3=b
x1+ax2+5x3=-1

hvordanløserjeg denne ved hjelpav gaussellim?

[Toppris]

R1=rad 1
R2=rad 2
R3=rad 3

R2->R2+R1 betyr at en adderer R1 til R2

1 1 1 1
1 2 a b
1 a 5 -1

Gidder ikke å skrive opp resultatet av hver rekkeoperasjon, så jeg skriver kun opp hva jeg gjør
R2->R2-R1
R3->R3-R1
R3->R3-aR2
R3->R3+R2

Etter mine beregninger ser jeg for meg at resultatet blir:

Kode: Velg alt

1     1     1          1
0     1    (a-1)     (b-1)
0     0 -(a+1)(a-3) -3-ab+a+b

[mathvrak]

Generelt, for n ukjente og n likninger, går gausselliminasjon ut på å nulle ut nederst til venstre

x1 x2 x3 betyr x[sub]1[/sub] x[sub]2[/sub] x[sub]3[/sub]

Kode: Velg alt

( "?" betyr her "don't care" )

 ? + ? + ? = ?
 ? + ? + ? = ?
 ? + ? + ? = ?

... legger sammen multippel av likninger
og får ...

 ? + ? + ? = ?
 ? + ? + ? = ?
 0 + ? + ? = ?

Så vil vi ha nuller over denne nulleren

... legger sammen multippel av likninger
og får ...

 ? + ? + ? = ?
 0 + ? + ? = ?
 0 + ? + ? = ?

... legger sammen multippel av likninger
og får ...

 ? + ? + ? = ?
 0 + ? + ? = ?
 0 + 0 + ? = ?

Så leser du av x3 av L3 direkte, putter denne
inn i L2 og løser x2. Putter x2 og x3 i L1 og
løser x1. (man nøster opp). Og ja, kunne godt
startet å lage nullere øverst til høyre istedet.
Samme måte og jobbe for enda flere likninger og ukjente.

eksempel på gausselliminasjon:

L1: 1x1 + 1x2 + 1x3 = 1
L2: 1x1 - 1x2 + 1x3 = 1
L3: 1x1 - 1x2 - 1x3 = 1

(ønsker nuller i L3 forran x1)
-L2 +L3 -> L3

L1: 1x1 + 1x2 + 1x3 = 1
L2: 1x1 - 1x2 + 1x3 = 1
L3: 0x1 + 0x2 - 2x3 = 0

(ønsker nuller i L2 forran x1)
-L1 + L2 -> L2

L1: 1x1 + 1x2 + 1x3 = 1
L2: 0x1 - 2x2 + 0x3 = 0
L3: 0x1 + 0x2 - 2x3 = 0

Har nå systemet på gauss-eliminert form,
eller øvre-triangulær form om du vil.

L1: 1x1 + 1x2 + 1x3 = 1
L2:     - 2x2 + 0x3 = 0
L3:             2x3 = 0

L3 impliserer at          x3=0
L2: -2x2 =0,              x2=0
L1: 1x1 + 0 + 0 = 1,      x1=1

Hvis du har bokstaver (f.eks a)
blir det fortsatt samme fremgangsmåte.