Funksjoner

[akihc]

Oppgave 11.93
Funksjonen f er gitt ved
[tex]f(x)=x^2-2x+5 \: , x<1[/tex]

a) Finn funksjonsuttrykket [tex]\: f^{-1} (x)\:[/tex].

Prøvde;

[tex]f(x)=y[/tex]

[tex]x^2-2x+5=y[/tex]

Løser med hensyn på x ;

[tex]x^2-2x+(5-y)=0[/tex]

[tex]x=\frac{-(-2)+- \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (5-y)}}{2 \cdot 1 }[/tex]

[tex]x=\frac{2+- \sqrt{4-20+4y}}{2}[/tex]

[tex]x= \frac{2+- \sqrt{-16+4y}}{2}[/tex]

Det er negativ tall under rotegnet ,hva er feilen?

[daofeishi]

Det er ingen feil her. f[sup]-1[/sup](x) (hvis funksjonen eksisterer) er bare definert for x i verdimengden til f. Hvis du undersøker, vil du se at verdimengden er [4,[symbol:uendelig]], og dermed er radikanden alltid positiv.

Bare sørg for at du nå velger rett fortegn forran rottegnet. Skal det være pluss eller minus?

[akihc]

Det er ingen feil her. f[sup]-1[/sup](x) (hvis funksjonen eksisterer) er bare definert for x i verdimengden til f. Hvis du undersøker, vil du se at verdimengden er [4,[symbol:uendelig]], og dermed er radikanden alltid positiv.

Bare sørg for at du nå velger rett fortegn forran rottegnet. Skal det være pluss eller minus?

Det skal være minus siden definisjonsmengden er x mindre enn 1 og mindre enn uendelig.

Hvis du mener at radikanden skal være positiv så får jeg ;

[tex]x= \frac{2+- \sqrt{4+20 +4y}}{2}[/tex]

[tex]x=\frac{2+- \sqrt{24} \cdot \sqrt{4y}}{2}[/tex]

[tex]x= 1+- \frac{\sqrt{24}}{2} + \sqrt{y}[/tex]

Etter alt å dømme må det være feil i oppgaven, for negativ under rottegnet betyr at x ikke har noen løsning, immaginært tall.(Det kan man finne ut ved å løse andregradslikning uten å sette den lik y). Da vil man se at andregradslikningen gir immaginære tall som svar. Derfor må det være feil i oppgaven.

I fasiten står det dessuten svar som følger;

[tex]f^{-1}(x)=1-\sqrt{x-4}[/tex]

Når jeg da tegner f og [tex]\: f^{-1}[/tex] i koordinatsystemet sammen med linja y=x , ser jeg fort at de to grafene ikke er symmetriske om linja y=x. Derfor er det feil i oppgave.