Ok, første oppgave var som følger: Finne dobbelintegralet av funksjonen xy over området x-y=1 og y^2= 2x+6
Her har jeg gjort som følger:
[tex] y^2=2(1+y)+6 \Rightarrow y^2-2y-8=0 \Rightarrow y=-2 \vee y=4 \hspace{5mm} -2\leq y \leq 4[/tex]
[tex] y^2=2x+6 \Rightarrow x=\frac{y^2}{2}-3[/tex]
[tex] x-y=1 \Rightarrow x=1+y \hspace{7mm} \frac{y^2}{2}-3 \leq x \leq 1+y [/tex]
[tex]V=\int \int_S (xy) dA = \int_{-2}^{4} \int_{\frac{y^2}{2}-3}^{1+y} (xy) dxdy=\int_{-2}^{4} \frac{1}{2}yx^2]_{\frac{y^2}{2}-3}^{1+y}=\frac{1}{2}\int_{-2}^{4} (4y^3-8y+2y^2-\frac{y^5}{4})dy[/tex]
[tex]=\frac12 [y^4-4y^2+\frac23 y^3-\frac{y^6}{24}]_{-2}^{4}=\frac12 ((4^4 -4\cdot 4^2 + \frac23 4^3-\frac{4^6}{24})-((-2)^2 -4(-2)^2+\frac23 (-2)^3 - \frac{(-2)^6}{24}))[/tex]
[tex]=\frac12 (64+8)=36[/tex]
Andre oppgave var å finne volumet ved dobbelintegrasjon av z=sqrt(4-x^2-y^2), xy-planet og x^2+y^2 >=1
[tex]V=\int \int_R \sqrt{4-x^2 -y^2} dA=\int_0^{2\pi} \int_0^1 r\sqrt{4-r^2}drd\theta[/tex]
[tex] u=4-r^2 \hspace{10mm} du=-2rdr \hspace{10mm} dr=-\frac{du}{2r}[/tex]
[tex]V=-\frac{1}{2}\int_0^{2\pi} \int_0^1 u^{\frac12} dud\theta= -\frac{1}{2}\int_0^{2\pi} [\frac{2}{3}(4-r^2)^{\frac32}]_0^1 d\theta =-\frac{1}{3}\int_0^{2\pi} (3\sqrt{3}-8)d\theta [/tex]
[tex]= -\frac{1}{3}[3\sqrt{3}-8]_0^{2\pi}=\frac{2\pi}{3}(8-3\sqrt{3})[/tex]