skal beregne treghetsmomentet i ett kuleskallformet legeme om en akse tvers gjennom kula. Skallet har ytre radius 2 og indre radius lik 1, og samme tetthet (1) i hele legemet.
Hvordan griper jeg dette an? Problemet er vel aksesymmetrisk, slik at det lønner seg å velge sylinderkoordinater? Områdebeskrivelse blir latterlig enkel med sfæriske koordinater, men da blir vel selve utregningen litt verre?
Beregne gjennomsnittlig avstand massen har fra den gjennomgående aksen, og så bruke en snedig formel fra fysikken (som jeg selvfølgelig ikke husker)?
treghet i skallegeme?
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Jeg vil tro at det er enklest i kulekoordinater:
Hvis tettheten er [tex]\delta[/tex], får vi
[tex]I_z=\int_0^{2\pi}\int_1^2\int_0^\pi \delta\rho^4\sin^3\phi\;d\phi d\rho d\theta[/tex]
Dette skulle gå greit ved å benytte standardtrikset [tex]sin^3\phi=\sin\phi(1-\cos^2\phi)[/tex]
For øvrig er det enkelt å benytte standardformel for treghetsmoment av en kule om en akse gjennom tyngdepunktet, men du skulle kanskje vise det ved integrasjon?
[tex]I_z=\frac{2}{5}MR^2-\frac{2}{5}Mr^2[/tex], der [tex]R=2[/tex] og [tex]r=1[/tex]
Hvis tettheten er [tex]\delta[/tex], får vi
[tex]I_z=\int_0^{2\pi}\int_1^2\int_0^\pi \delta\rho^4\sin^3\phi\;d\phi d\rho d\theta[/tex]
Dette skulle gå greit ved å benytte standardtrikset [tex]sin^3\phi=\sin\phi(1-\cos^2\phi)[/tex]
For øvrig er det enkelt å benytte standardformel for treghetsmoment av en kule om en akse gjennom tyngdepunktet, men du skulle kanskje vise det ved integrasjon?
[tex]I_z=\frac{2}{5}MR^2-\frac{2}{5}Mr^2[/tex], der [tex]R=2[/tex] og [tex]r=1[/tex]
Takker for svar, stemmer at det skal integreres ja. Stemte på en prikk med det integralet du satte opp 
Fikk svaret (248 [symbol:pi] )/15, som stemmer med fasit.
Fikk svaret (248 [symbol:pi] )/15, som stemmer med fasit.