matematikk.net

Gjentar en gammel tråd startet av Jarle10 fordi det var en fin oppgave, og de som ikke har prøvd seg på den ennå fortjener et forsøk.

[tex]x=\lfloor x \rfloor + \{x\}[/tex] Slik at [tex]x=5.32 \Leftrightarrow \lfloor x \rfloor = 5 \wedge \{ x \}=0.32[/tex] osv.

1. Finn integralene [tex]I_1=\int_0^t \{x\}\rm{d}x[/tex] og [tex]I_2=\int_0^t \lfloor x \rfloor \rm{d}x[/tex].

2. Finn [tex]I_3=\int_0^t \{x\}^2 \rm{d}x[/tex].

Kan det stemme at [tex]I_1 = \int_0^t \{x\}\,dx = \Large{\frac{\lfloor t \rfloor + \{t\}^2}2}[/tex] ?

og at [tex]I_2 = \int_0^t \lfloor x \rfloor \,dx= \sum_{n=0}^{\lfloor t \rfloor - 1} n + \lfloor t \rfloor \{t\}[/tex] ?

I[sub]1[/sub] stemmer, men jeg tror du tenker for komplisert når det kommer til I[sub]2[/sub].

Hint: Se om du kan redusere integralet til et integral du ellerede kjenner til.

Jeg endret på grensen til summen, men blir ikke I_2 riktig, da? Å finne arealet under [tex]\lfloor x \rfloor[/tex] er jo bare å finne arealet av en haug rektangler ...

Joda, det ser ut til å stemme.

Tar du 2) også?

[tex]I_3 = \int_0^t \{x\}^2\,dx = \Large{\frac{\lfloor t \rfloor + \{t\}^3}{3}}[/tex]

Oppfølger:

[tex]I_4 = \int_0^t \{x\}^n \,dx[/tex]

Svaret ditt ble adskillig enklere enn mitt. Kan du vise utregningen?

Hvis du grafer [tex]f(x) = \{x\}^2\,,\,\,D_f = [0,\,\infty)[/tex] ser du at funksjonen er lik mange [tex]g(x) = x^2\,,\,\,D_f = [0,\,1][/tex] lagt etter hverandre.

Siden [tex]\int_0^1 x^2\,dx = \frac 13[/tex] vil [tex]\int_0^{\lfloor t \rfloor} \{x\}^2\,dx = \lfloor t \rfloor \int_0^1 x^2\,dx = \frac{\lfloor t \rfloor}3[/tex]

Da gjenstår det bare å finne [tex]\int_{\lfloor t \rfloor}^t \{x\}^2\,dx [/tex] som jo er lik [tex]\int_0^{\{t\}} \{x\}^2\,dx = \frac 13 \{t\}^3 = \frac{\{t\}^3}3[/tex]

[tex]I_3 = \int_0^t \{x\}^2\,dx = \int_0^{\lfloor t \rfloor} \{x\}^2\,dx + \int_{\lfloor t \rfloor}^{t} \{x\}^2\,dx = \frac{\lfloor t \rfloor}3 + \frac{\{t\}^3}3 = \frac{\lfloor t \rfloor + \{t\}^3}3[/tex]

Smart!

Min metode var å substituere [tex]\lfloor x \rfloor =x-\{x\}[/tex]. Da fikk jeg et enklere svar på I[sub]2[/sub], men et rotete svar på I[sub]3[/sub].

Finn [tex]I=\int^t_0 \lfloor x \rfloor \cdot \lceil x \rceil \rm{d}x[/tex]

Jarle10 wrote:Finn [tex]I=\int^t_0 \lfloor x \rfloor \cdot \lceil x \rceil \rm{d}x[/tex]

jeg burde ikke skrivd noe svar, fordi jeg bare roter idag og har dårlig tid, men er;

[tex]I=\int_0^t \lfloor x \rfloor \cdot \lceil x \rceil\,dx={1\over 3}t^3\,-\,\frac{\lfloor t \rfloor\,+\,\{t\}^{\small 3}}{3}[/tex]

Emomilol wrote:[tex]I_4 = \int_0^t \{x\}^n \,dx[/tex]

Jeg gjør et forsøk.

[tex]I_4=\int_0^t \{x\}^n\rm{d}x=\int_0^{\lfloor t \rfloor} \{ x \}^n \rm{d}x+\int_{\lfloor t \rfloor}^t \{ x \} \rm{d}x=\lfloor t \rfloor\int_0^{1} x^n \rm{d}x+\int_{0}^{\{ t \} } x^n \rm{d}x \\ I_4=\frac{\lfloor t \rfloor + \{ t \}^{n+1}}{n+1}[/tex]

Sånn. Hvordan ser det ut?

Oppfølger:

[tex]I_5=\int_0^t \frac{\lfloor x \rfloor}{\lceil x \rceil}\rm{d}x[/tex]

Også:

Vis at [tex]\lfloor x \rfloor \cdot \lceil x \rceil = \sum_{n=0}^{\lfloor x \rfloor} 2n[/tex]

espen180 wrote:Vis at [tex]\lfloor x \rfloor \cdot \lceil x \rceil = \sum_{n=0}^{\lfloor x \rfloor} 2n[/tex]

Trikset er å bruke at [tex]\lceil x \rceil = \lfloor x \rfloor + 1\,\,\, \forall x \geq 0, \,x \not \in \mathbb{N}[/tex]

[tex]\lfloor x \rfloor \cdot \lceil x \rceil = \lfloor x \rfloor \cdot \left( \lfloor x \rfloor + 1 \right) = 2 \cdot \left( \frac{\lfloor x \rfloor^2 + \lfloor x \rfloor}{2}\right) = 2 \sum_{n=0}^{\lfloor x \rfloor}n = \sum_{n=0}^{\lfloor x \rfloor} 2n \,\,\,\forall x \geq 0, \,x \not \in \mathbb{N}[/tex]

(Hvis [tex]x \in \mathbb{N}[/tex] vil [tex]\lfloor x \rfloor \cdot \lceil x \rceil = x^2[/tex])

Emomilol, det er ikke sant for alle x ( f.eks x=1), men siden forholdet mellom antall heltall og reelle tall på et kontinuerlig intervall alltid er 0, vil det ikke ha noe å si når man integrerer (finner arealet).

Jeg endret litt på forrige post. Er det noe galt nå?

En kjedelig oppfølger:

Bevis: [tex]\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{\lfloor x \rfloor}{\lceil x \rceil} = 1[/tex]