Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.
Jeg endret på grensen til summen, men blir ikke I_2 riktig, da? Å finne arealet under [tex]\lfloor x \rfloor[/tex] er jo bare å finne arealet av en haug rektangler ...
Hvis du grafer [tex]f(x) = \{x\}^2\,,\,\,D_f = [0,\,\infty)[/tex] ser du at funksjonen er lik mange [tex]g(x) = x^2\,,\,\,D_f = [0,\,1][/tex] lagt etter hverandre.
Siden [tex]\int_0^1 x^2\,dx = \frac 13[/tex] vil [tex]\int_0^{\lfloor t \rfloor} \{x\}^2\,dx = \lfloor t \rfloor \int_0^1 x^2\,dx = \frac{\lfloor t \rfloor}3[/tex]
Da gjenstår det bare å finne [tex]\int_{\lfloor t \rfloor}^t \{x\}^2\,dx [/tex] som jo er lik [tex]\int_0^{\{t\}} \{x\}^2\,dx = \frac 13 \{t\}^3 = \frac{\{t\}^3}3[/tex]
[tex]I_3 = \int_0^t \{x\}^2\,dx = \int_0^{\lfloor t \rfloor} \{x\}^2\,dx + \int_{\lfloor t \rfloor}^{t} \{x\}^2\,dx = \frac{\lfloor t \rfloor}3 + \frac{\{t\}^3}3 = \frac{\lfloor t \rfloor + \{t\}^3}3[/tex]
[tex]I_4=\int_0^t \{x\}^n\rm{d}x=\int_0^{\lfloor t \rfloor} \{ x \}^n \rm{d}x+\int_{\lfloor t \rfloor}^t \{ x \} \rm{d}x=\lfloor t \rfloor\int_0^{1} x^n \rm{d}x+\int_{0}^{\{ t \} } x^n \rm{d}x \\ I_4=\frac{\lfloor t \rfloor + \{ t \}^{n+1}}{n+1}[/tex]
Sånn. Hvordan ser det ut?
Oppfølger:
[tex]I_5=\int_0^t \frac{\lfloor x \rfloor}{\lceil x \rceil}\rm{d}x[/tex]
Også:
Vis at [tex]\lfloor x \rfloor \cdot \lceil x \rceil = \sum_{n=0}^{\lfloor x \rfloor} 2n[/tex]
Emomilol, det er ikke sant for alle x ( f.eks x=1), men siden forholdet mellom antall heltall og reelle tall på et kontinuerlig intervall alltid er 0, vil det ikke ha noe å si når man integrerer (finner arealet).
