Parametrene k og l

akihc · 09/12-2008 16:28

Hvordan løser jeg denne?;

Oppgave323;
a) Bestem parametrene k og l slik at løsningsmengden til likningen [tex]x^2-6x+y^2+ky+l=0[/tex] er sirkelen C i xy-planet med senter i punktet (3,2) og med radius 2.

09/12-2008 16:34

En sirkel med radius 2 og senter i (3,2) kan uttrykkes med ligningen [tex](x-3)^2 + (y-2)^2 = 4[/tex]. Hvis du ganger ut høyresida og flytter over 4, bør det vel være rimelig lett å se hva k og l må være?

akihc · 09/12-2008 16:44

Jeg vet at det er sirkellikningen men hva mener du med ganging av 4 på høyre side? Kan du utdype mer?

09/12-2008 16:48

Gange? Flytte over mener jeg.

[tex](x-3)^2 + (y-2)^2 = 4[/tex]

[tex](x-3)^2 + (y-2)^2 - 4 = 0[/tex]

Nå ganger du ut parantesene (2. kvadratsetning). Da er det bare å se litt på ligninga så finner du automatisk k og l.

akihc · 09/12-2008 17:19

Da jeg brukte andre kvadratsetningen til å løse ut de to parentesene i sirkellikningen fikk jeg ;

[tex](x^2-6x+9) +(y-4y+4)-4=0[/tex]

[tex]x=3[/tex]

[tex]y=4,y=0[/tex]

Da satte jeg disse verdiene for x og y i den første likningen slik;

[tex]x^2-6x+y^2+ky+l=0[/tex]

[tex]3^2-6\cdot 3 +4^2+k\cdot4+l=0[/tex]

Jeg løste deretter på k og fikk ;

[tex]k=\frac{l-7}{4}[/tex]

Denne k verdien satte jeg i den første likningen og løste likningen med henysn på l og fikk k=1 og y=-11 .Vet at man setter inn og ser om det stemmer , det gjør det jo, men det gjør de ikke for y=0, men det er kanskje ikke med selvom jeg fikk y=0 som den ene verdien av da jeg løste for y som var en andregradslikning fra sirkelsektoren...

Er utregningen min hittil riktig?

09/12-2008 17:58

Stopp litt. Du kommer frem til ligninga

[tex]x^2 - 6x + 9 + y^2 - 4y = 0[/tex]

[tex]x^2 - 6x + y^2 - 4y + 9 = 0[/tex]

Sammenlign høyresida med høyresida i:

[tex]x^2 - 6x + y^2 + ky + l = 0[/tex]

Du kan vel strengt tatt bare lese av k og l?

akihc · 09/12-2008 18:49

Og hvis jeg skal sette prøve på svaret og faktisk se om likningen gir svaret lik null så setter jeg x=y, altså : [tex]x^2 - 6x + y^2 -4y + 9 = 0[/tex] blir til;

[tex]x^2 - 6x + x^2 -4x + 9 = 0[/tex]
[tex]2x^2-10x+9=0[/tex]

Riktig å si det slik?

Eller må man blir det en parameterframstilling for linja l og linja k ? Eventuelt hvordan?

09/12-2008 18:51

Uh, hva har du gjort her egentlig?

Nå seg jeg du nevner sirkelsektorer osv. her. Har du kanskje lært en annen måte å bestemme disse parametrene på enn det jeg viste her? Hvilket mattekurs er det du tar?

akihc · 09/12-2008 18:55

Feilpost!

Rettet mens du skrev...

09/12-2008 19:01

Åja, det er et annet spørsmål :p (For hvis du skal bestemme k og l slik at ligninga blir ligninga til en sirkel så gjør du slik jeg viste.)

For å finne skjæringspunktet/ene med x-aksen setter du y = 0. Da får du ligninga [tex]x^2 - 6x + 9 = 0[/tex] som jo er enkel og grei.

akihc · 09/12-2008 19:05

Ok,det siste jeg lurer på angående denne oppgaven er;

c) Bestem stigningstallet til alle linjer gjennom origo som snitter sirkelen C i akkuratt ett punkt.Svarene skal gis eksakt.

09/12-2008 19:27

Jeg kommer ikke på noen bedre metode enn dette:

Du er ute etter k i ligninga y = kx. Du vil at denne linja skal tangere sirkelen. Det betyr at linja må være en del av løsningsmengden til sirkelligninga. Sett inn uttrykket for y i ligninga:

[tex]x^2 - 6x + 9 + (kx)^2 - 4kx = 0[/tex]

[tex]x^2 - 6x + 9 + k^2 x^2 - 4kx = 0[/tex]

Denne kan du ordne på -- få ligninga over på formen [tex]ax^2 + bx + c = 0[/tex]:

[tex](k^2 + 1)x^2 - (4k + 6)x + 9 = 0[/tex]

Vi vil at denne ligninga skal ha én løsning (altså ett punkt der linja tangerer sirkelen). Husker du noe om hva som bestemmer antall løsninger til en andregradsligning?

09/12-2008 19:52

Det er når determinanten, [tex]b^2 - 4ac = 0[/tex], i andregradsformelen / abc-formelen. Hvis det holder, så har ligningen nøyaktig én løsning, og det er det vi vil i dette tilfellet. Vi bruker dette kravet på ligningen jeg kom frem til ovenfor:

[tex](-(4k + 6))^2 - 4 \cdot (k^2 + 1) \cdot 9 = 0[/tex]

[tex](4k+6)^2 - 36(k^2 + 1) = 0[/tex]

Så dette gir altså nok ei andregradsligning. Løs denne, og du finner de k-verdiene (stigningstallene, husk at dette er jo fortsatt er k i y = kx) som gjør at linja skjærer sirkelen/tangerer i ett punkt.

Edit: uh, nå sletta du innlegget, hvorfor?

Vel, uansett, begynner å lure på om dette er den metoden de legger opp til i boka di. Hva handler kapittelet/delkappitelet oppgava hører til om?

akihc · 09/12-2008 20:03

Jeg får k=0,4899 og k=-1,413. Da er y=0,4899x og y=-1,413x.

Men tidligere så vi at verdien under rottegnet i andregradslikningen som vi satte lik 0 viste seg å bli nøyaktig en verdi for k, men jeg fikk to,negativ verdi tells ikke? Videre vil jeg sjekke om linja tangerer sirkelen i punktet som oppgaven fortalte om ,hvordan setter jeg det hele på prøve, jeg vil nemlig sette likningen til sirkelen lik denne likningen med stigningstallet som går gjennom origo.Men hvordan kan jeg sette sirkelens likning lik denne da sirkelens likning har to ukjente som kalkulatoren konkluderer med error...Altså hva kan jeg sette i Y1 når jeg setter Y2=0,4899x og Y3=-1,413x som er de to linjene jeg fant...

rettet mens du skrev nok en gang igjen...

Det er foresten en eksamensoppgave... Vil tro det er en blanding av parameter og geometri av typen sirkler....

09/12-2008 20:16

Ligninga skal gi k = 0 og k = 2.4.

Hvis du vil teste at det faktisk gir bare ett skjæringspunkt med disse to stigningstallene, setter du linja inn i sirkelligninga slik jeg gjorde for å komme frem til denne k-verdien. Forskjellen er at nå kjenner du k:

Setter du inn linja y = 0x, altså y = 0 inn i ligninga vet du jo at du får én løsning (dette gjorde du jo i sted for å finne skjæringspunkt med x-aksen).

Setter du inn linja y = 2.4x får du:

[tex]x^2 - 6x + 9 + (2.4x)^2 - 4(2.4x) = 0[/tex]

[tex]6.76x^2 - 6x - 15.6x + 9 = 0[/tex]

Denne har også bare én løsning.