Bevis II ..

[kenewbie]

a) La X og Y være rasjonale tall. Vis da at disse tallene er rasjonale:
1) X + Y
2) X * Y
3) X / Y Y != 0

b) La X være et rasjonalt tall og Y et irrasjonalt tall. Gi et indirekte bevis for at X/Y er et irrasjonalt tall.

--------
Mine forsøk:

a 1) Når X og Y er rasjonale må de kunne skrives på formen [tex] \frac {A}{B} og \frac{C}{D} [/tex] .. der A,B,C og D er hele tall.

[tex] X + Y = \frac {A}{B} + \frac {C}{D} =\frac {AD + BC}{BD} [/tex]

Både sum og produkt av hele tall må bli nye hele tall. Men, dette gjelder ikke for divisjon. Så utrykket mitt trenger ikke bli et helt tall, og da er jeg ikke lengre sikker på at det må være rasjonalt. Jeg står mao fast her. Må jeg bevise dette for partall og oddetall hver for seg?

a 2) [tex] X * Y = \frac {A}{B} * \frac{C}{D} = \frac{AC}{BD}[/tex] .. Samme problem som A 1)

a 3) [tex] \frac {X}{Y} = \frac {\frac {A}{B}}{\frac {C}{D}} = \frac {AD}{BC}[/tex] .. Samme problem igjen.

b) Her har jeg rett og slett ikke snøre.

Og et spørsmål helt til slutt: Hvordan vet jeg hva jeg kan legge til grunn i et bevis? Hvis jeg får beskjed om å bevise at summen av to partall er et nytt partall, kan jeg da støtte meg til det faktum at sum og produkt av hele tall alltid er et nytt tall, eller må jeg bevise dette i samme slengen? Hvordan vet jeg hva jeg kan bruke?

k

[Karl_Erik]

Husk at tall godt kan være rasjonale uten at de er hele. I det første beviset ditt er du mer eller mindre i mål. Om jeg minner deg på at definisjonen av et rasjonalt tall er et tall som kan skrives på formen [tex]\frac p q[/tex] der p og q er hele tall, kan du føye til en setning for å fullføre beviset ditt da?

[Vektormannen]

a 1) Når X og Y er rasjonale må de kunne skrives på formen [tex] \frac {A}{B} og \frac{C}{D} [/tex] .. der A,B,C og D er hele tall.

[tex] X + Y = \frac {A}{B} + \frac {C}{D} =\frac {AD + BC}{BD} [/tex]

Både sum og produkt av hele tall må bli nye hele tall. Men, dette gjelder ikke for divisjon. Så utrykket mitt trenger ikke bli et helt tall, og da er jeg ikke lengre sikker på at det må være rasjonalt. Jeg står mao fast her. Må jeg bevise dette for partall og oddetall hver for seg?

Jeg tror du forvirrer deg selv litt her. Som du selv sier resulterer sum og produkt av hele tall i nye hele tall. Altså vil både telleren og nevneren i brøken [tex]\frac{AD + BC}{BD}[/tex] bli hele tall. Da har vi en brøk med heltall i teller og nevner -- og da er det av definisjon et rasjonalt tall (brøk med heltall i teller og nevner)!

Akkurat det samme gjelder for 2) og 3) også.

Det indirekte beviset i b) kan sikkert gjøres på flere måter, men du kan f.eks. bruke følgende: Anta at det motsatte stemmer -- at x/y ikke blir et irrasjonalt tall. Da må vi ha at x/y er et rasjonalt tall, og kan skrives som brøken a/b der a og b er hele tall. Dette kan du sikkert klare å vise at fører til en selvmotsigelse.

Edit: litt sein...

[kenewbie]

Jeg tror du forvirrer deg selv litt her. Som du selv sier resulterer sum og produkt av hele tall i nye hele tall. Altså vil både telleren og nevneren i brøken [tex]\frac{AD + BC}{BD}[/tex] bli hele tall. Da har vi en brøk med heltall i teller og nevner -- og da er det av definisjon et rasjonalt tall (brøk med heltall i teller og nevner)!

Aaargh! Du har 100% rett selvfølgelig. Jeg rota meg fullstendig bort der. Takk for en veldig enkel og grei forklaring.

Det indirekte beviset i b) kan sikkert gjøres på flere måter, men du kan f.eks. bruke følgende: Anta at det motsatte stemmer -- at x/y ikke blir et irrasjonalt tall. Da må vi ha at x/y er et rasjonalt tall, og kan skrives som brøken a/b der a og b er hele tall. Dette kan du sikkert klare å vise at fører til en selvmotsigelse.

Er dette godkjent bevis?

Dersom x/y er rasjonalt må det kunne skrives på formen a/b / b/c. Men y er irrasjonalt og kan ikke skrives som b/c, derfor er x/y irrasjonalt.

Det er tilsynelatende for enkelt hehe (lett å si etterpå).

k

[Vektormannen]

Hm, beviset ditt er litt uklart. Hvorfor må det kunne skrives på formen a/b / b/c? a/b / b/c = a/b * c/b = ac/b^2. Var det dette du ville frem til? Jeg tenker på å gjøre noe slikt:

Hvis x/y er rasjonal, må vi ha at x/y = a/b der a og b er hele tall. Ganger vi med a og b får vi bx = ay. Så deler vi med a og får y = bx/a = b/a * x.
Dette er produktet av det rasjonale tallet b/a og det rasjonale tallet x.
Du har tidligere bevist at dette produktet blir et rasjonalt tall. Men da har vi altså at y, som er et irrasjonalt tall, skal være lik et rasjonalt tall, og det er opplagt feil. Antakelsen vår førte altså til en selvmotsigelse, og utsagnet må være usant.

[kenewbie]

Hm, beviset ditt er litt uklart. Hvorfor må det kunne skrives på formen a/b / b/c?

Jeg tenkte som følger:

X er rasjonal, Y er irrasjonal. Vis at X / Y er et irrasjonalt tall.

Vi anntar det motsatte, at X / Y er rasjonalt. For at X/Y skal være rasjonalt så må X og Y enten være hele tall, eller rasjonale utrykk i seg selv. I begge tilfeller kan X og Y skrives på formen (A/B) / (C/D). Men Y er irrasjonalt og kan ikke skrives på formen C/D, derfor må X/Y bli et irrasjonalt utrykk.

Hvis x/y er rasjonal, må vi ha at x/y = a/b der a og b er hele tall. Ganger vi med a og b får vi bx = ay. Så deler vi med a og får y = bx/a = b/a * x.
Dette er produktet av det rasjonale tallet b/a og det rasjonale tallet x.
Du har tidligere bevist at dette produktet blir et rasjonalt tall. Men da har vi altså at y, som er et irrasjonalt tall, skal være lik et rasjonalt tall, og det er opplagt feil. Antakelsen vår førte altså til en selvmotsigelse, og utsagnet må være usant.

Ah, clever!

k

[Vektormannen]

Jeg tror beviset ditt er like holdbart!