Baltic Way 2008 oppg3
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
mrcreosote
- Guru
- Innlegg: 1995
- Registrert: 10/10-2006 20:58
Nei. Men dette blir ikke pent. Først ser vi at hvis alpha duger, duger pi/2-alpha også og at alpha=pi/4 ikke duger, så vi kan nøyes med å se på når alpha er i (0,pi/4). La [tex]x=\sin\alpha[/tex]; legg merke til at [tex]0<x<\frac{\sqrt2}2[/tex] Da er med [tex]y=\sqrt{1-x^2}[/tex] de andre størrelsene y, x/y og y/x. Vi har også at enten er I) x<x/y<y<y/x eller II) x<y<x/y<y/x.
I) Skal de 3 siste danne ei aritmetisk rekke, må 2y=x/y+y/x eller etter litt rydding [tex]2x^3-2x+1=0[/tex]. Dette krasjer med intervallet x skulle ligge i.
II) Nå må vi ha 2x/y=y+y/x eller [tex]f(x)=x^3+3x^2-x-1=0[/tex]. Dessuten må 2y=x+x/y eller [tex]g(x)=5x^4+4x^3-8x^2-4x+4=0[/tex]. Ingen x tilfredsstiller begge disse ligningene. Det kan vi vise sånn: Vi må ha at [tex]g(x)-(5x-11)f(x)=30x^2-10x-7=0[/tex]. Denne er lett å løse, og setter vi inn den ene mulige løsninga i f(x) får vi ikke 0. Derfor kan vi ikke ha det.
Jeg er imponert over alle de rare talla som valgte å dukke opp i denne oppgava. Har du ei løsning uten så mye griserier, Zivert?
I) Skal de 3 siste danne ei aritmetisk rekke, må 2y=x/y+y/x eller etter litt rydding [tex]2x^3-2x+1=0[/tex]. Dette krasjer med intervallet x skulle ligge i.
II) Nå må vi ha 2x/y=y+y/x eller [tex]f(x)=x^3+3x^2-x-1=0[/tex]. Dessuten må 2y=x+x/y eller [tex]g(x)=5x^4+4x^3-8x^2-4x+4=0[/tex]. Ingen x tilfredsstiller begge disse ligningene. Det kan vi vise sånn: Vi må ha at [tex]g(x)-(5x-11)f(x)=30x^2-10x-7=0[/tex]. Denne er lett å løse, og setter vi inn den ene mulige løsninga i f(x) får vi ikke 0. Derfor kan vi ikke ha det.
Jeg er imponert over alle de rare talla som valgte å dukke opp i denne oppgava. Har du ei løsning uten så mye griserier, Zivert?
Her kommer min løsning som jeg tok litt på sparket egentlig... 
La [tex]a= \sin \alpha [/tex] og [tex]b=\cos \alpha[/tex]. Uten tap av generalitet kan vi anta at a<b (slik mrcreosote forklarte).
Som sagt, da alpha er i det gitte intervallet, har vi to tilfeller :
[tex]I) \,\,a<b<\frac{a}{b}<\frac{b}{a}[/tex]
[tex]II) \,\,a<\frac{a}{b}<b<\frac{b}{a}[/tex]
Om disse fire er i aritmetisk rekke har vi i både I) og II) at:
[tex]a-b=\frac{a}{b}-\frac{b}{a} \Rightarrow[/tex]
[tex]a-b=\frac{(a-b)(a+b)}{ab} \Rightarrow[/tex]
[tex]ab=a+b \Rightarrow[/tex]
[tex](a-1)(b-1)=1[/tex]
Men dette er stemmer ikke da vi vet at 0<a,b<1.
Hmmm... Jeg har ikke sett løsningen på oppgaven, og det var heller ikke jeg som prøvde meg på oppgaven under BW (Jarle). Kan dette stemme, ser nesten litt for enkelt ut
La [tex]a= \sin \alpha [/tex] og [tex]b=\cos \alpha[/tex]. Uten tap av generalitet kan vi anta at a<b (slik mrcreosote forklarte).
Som sagt, da alpha er i det gitte intervallet, har vi to tilfeller :
[tex]I) \,\,a<b<\frac{a}{b}<\frac{b}{a}[/tex]
[tex]II) \,\,a<\frac{a}{b}<b<\frac{b}{a}[/tex]
Om disse fire er i aritmetisk rekke har vi i både I) og II) at:
[tex]a-b=\frac{a}{b}-\frac{b}{a} \Rightarrow[/tex]
[tex]a-b=\frac{(a-b)(a+b)}{ab} \Rightarrow[/tex]
[tex]ab=a+b \Rightarrow[/tex]
[tex](a-1)(b-1)=1[/tex]
Men dette er stemmer ikke da vi vet at 0<a,b<1.
Hmmm... Jeg har ikke sett løsningen på oppgaven, og det var heller ikke jeg som prøvde meg på oppgaven under BW (Jarle). Kan dette stemme, ser nesten litt for enkelt ut