arcus trigonometri

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

arcus trigonometri

Innlegg Janhaa » 13/07-2008 14:21

Finn x når

[tex]\arcsin(x)\,=\,{\pi\over 3}\,+\,\arctan(-{1\over 3})[/tex]
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Janhaa offline
Boltzmann
Boltzmann
Brukerens avatar
Innlegg: 7795
Registrert: 21/08-2006 02:46
Bosted: Grenland

Innlegg moth » 13/07-2008 17:44

[tex]arcsin(x)=\frac{\pi}{3}+arctan(-\frac{1}{3})[/tex]
[tex]x=sin(\frac{\pi}{3}+arctan(-\frac{1}{3})[/tex]

Mest sannsynlig ikke det du er ute etter, men det blir vel riktig eller?
moth offline
Hilbert
Hilbert
Innlegg: 1081
Registrert: 08/03-2008 19:47

Innlegg Janhaa » 13/07-2008 20:20

thmo skrev:[tex]arcsin(x)=\frac{\pi}{3}+arctan(-\frac{1}{3})[/tex]
[tex]x=sin(\frac{\pi}{3}+arctan(-\frac{1}{3})[/tex]
Mest sannsynlig ikke det du er ute etter, men det blir vel riktig eller?

joda - du er på rett vei. hva med å bruke sinus til sum av to vinkler nå.

Er sjølsagt ute etter en eksakt x...
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Janhaa offline
Boltzmann
Boltzmann
Brukerens avatar
Innlegg: 7795
Registrert: 21/08-2006 02:46
Bosted: Grenland

Re: arcus trigonometri

Innlegg MatteNoob » 14/07-2008 02:34

Janhaa skrev:Finn x når

[tex]\arcsin(x)\,=\,{\pi\over 3}\,+\,\arctan(-{1\over 3})[/tex]


Har lest tidligere innlegg, så mye av dette er jo "juks".

[tex]x = \sin\left(\frac \pi 3 + \arctan(-\frac 13)\right) \\ \, \\ x = \sin(\frac \pi 3) \cdot \cos(\arctan(-\frac 13)) + \cos(\frac \pi 3) \cdot \sin(\arctan(-\frac 13)) \\ \, \\ x = \frac{\sqrt 3}{2} \cdot \cos(\arctan(-\frac 13)) + \frac 12 \cdot \sin(\arctan(-\frac 13)) \\ \, \\ x = \frac{ \sqrt 3 \cdot \cos(\arctan(-\frac 13)) + \sin(\arctan(-\frac 13))}{2}[/tex]

Blir veldig usikker på hvordan jeg skal håndtere [tex]\arctan(-\frac 13)[/tex] og jeg har lest om inverse trigonometriske funksjoner på wikipedia, uten å bli særlig klokere. Forsøkte også med endel forskjellig, men fikk det altså ikke til. :(

Edit:
Jeg klarer ikke slutte å tenke på denne... Jeg prøver dette...

[tex]\tan(y) = -\frac 13 \\ \, \\ -y = \arctan(\frac 13)[/tex]

Vi har altså en rettvinklet trekant der:

[tex]\text{Hypotenus: } \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}\\ \, \\ \text{Mot. katet: } 1 \\ \, \\ \text{Hos. katet: } 3[/tex]

[tex]-y = \arccos(\frac{3}{\sqrt{10}}) \\ \, \\ -y = \arcsin(\frac{1}{\sqrt{10}})[/tex]

[tex]x = \frac{ \sqrt 3 \cdot \cos(\arctan(-\frac 13)) + \sin(\arctan(-\frac 13))}{2}[/tex]

Setter inn:

[tex]x = \frac{ \sqrt 3 \cdot \cos(\arccos(-\frac {3}{\sqrt{10}})) + \sin(\arcsin(-\frac{1}{\sqrt{3}}))}{2}[/tex]

Jeg antar at cos, arccos og sin, arcsin kansellerer hverandre.

[tex]x = \frac{\sqrt 3 \cdot \left(-\frac{3}{\sqrt{10}}\right) + \left(-\frac{1}{\sqrt{10}}\right)}{2}[/tex]

[tex]x = - \frac{ \frac{3\sqrt 3 + 1}{\sqrt{10}}}{2} = - \frac{3\sqrt{3}+1}{2\sqrt{10}}[/tex]

Det er ikke nødvendig å forenkle dette svaret ytterligere, for det er feil. Hva er det jeg gjør som er feil?

DOUBLE EDIT:
Jeg ser at:
[tex]\frac{3\sqrt 3 - 1}{2\sqrt{10}} = \frac{3\cdot\sqrt{120}-\sqrt{40}}{40}[/tex]

gir riktig svar, men jeg forstår ikke hvorfor...
Øver du til eksamen i matematikk? Se eksamensoppgaver med løsningsforslag.
Vil du ha egen webside, se her for å lage hjemmeside.
MatteNoob offline
Riemann
Riemann
Brukerens avatar
Innlegg: 1634
Registrert: 08/01-2008 14:53
Bosted: matematikk.net :)

Innlegg MatteNoob » 14/07-2008 05:44

Nå har jeg fått litt hjelp her, og prøver igjen...

[tex]x = \frac{\sqrt 3}{2} \cdot \cos(\arctan(-\frac 13)) + \frac 12 \cdot \sin(\arctan(-\frac 13))[/tex]

Ifølge Wikipedias artikkel angående inverse trigonometriske funksjoner er:

[tex]\arctan(x) = \arcsin\left(\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}\right)[/tex]

[tex]\arctan(x) = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}\right)[/tex]

[tex]x = \frac{\sqrt 3}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{\left(\frac{-1}{3}\right)^2 + 1}} + \frac 12 \cdot \frac{\frac{-1}{3}}{\sqrt{\left(\frac{-1}{3}\right)^2 + 1}} \\ \, \\ \, \\ x = \frac{ \frac{\sqrt 3}{\sqrt{\frac{10}{9}}} - \frac{\frac 13}{\sqrt{\frac{10}{9}}}}{2} = \underline{\underline{\frac{3\sqrt 3 -1}{2\sqrt{10}}}}[/tex]

Edit:
Jeg er inneforstått med at man kan gjøre svaret penere, og fjerne det irrasjonelle tallet fra nevneren. [tex]\frac{\left(3\sqrt{3}-1\right)\sqrt{10}}{20}[/tex]

Kom gjerne med en liknende oppgave til. Denne var veldig lærerik for meg. :]

EDIT:
Jeg tenkte litt mer på denne oppgaven, nå prøvde jeg dette:

[tex]x = \frac{\sqrt 3}{2} \cdot \cos(\arctan(-\frac 13)) + \frac 12 \cdot \sin(\arctan(-\frac 13))[/tex]

Rettvinklet trekant med følgende sider:
Hosliggende katet: -1
Motstående katet: 3
Hypotenus: [symbol:rot] 10

Vi har også at:
[tex]\tan(-x) = -\tan(x) \\ \, \\ \sin(-x) = -\sin(x) \\ \, \\ \cos(-x) = \cos(x)[/tex]

[tex]x = \frac{\sqrt 3}{2} \cdot \cancel{\cos}(\cancel{\arccos}(\frac{3}{\sqrt{10}})) + \frac 12 \cdot \cancel{\sin}(\cancel{\arcsin}(-\frac {1}{\sqrt{10}})) \\ \, \\ x = \frac{3\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{10}} = \underline{\underline{\frac{\left(3\sqrt 3 - 1\right) \cdot \sqrt{10}}{20}}}[/tex]
Øver du til eksamen i matematikk? Se eksamensoppgaver med løsningsforslag.
Vil du ha egen webside, se her for å lage hjemmeside.
MatteNoob offline
Riemann
Riemann
Brukerens avatar
Innlegg: 1634
Registrert: 08/01-2008 14:53
Bosted: matematikk.net :)

Innlegg moth » 14/07-2008 09:50

Hva er dette, avbryter du når jeg er midt i å løse oppgaven? :shock:

Neida, det går helt bra. Jeg så på den regelen for sinus til sum, men jeg hadde ikke særlig god peiling hva jeg skulle bruke den til. Men no kan jeg ihvertfall se hva du har gjort og prøve å lære litt. Godt jobbet. Flinke mannen :D

PS: Er det sånn at hvis det inneholder en brøk med [symbol:pi] så skal det regnes med radianer og ellers ikke?
moth offline
Hilbert
Hilbert
Innlegg: 1081
Registrert: 08/03-2008 19:47

Innlegg FredrikM » 14/07-2008 10:07

PS: Er det sånn at hvis det inneholder en brøk med π så skal det regnes med radianer og ellers ikke?

Er vel heller det at å regne med radianer er "standard" når det kommer til trigonometri. [trorjeg]
Cube - mathematical prethoughts | @MatematikkFakta
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)
FredrikM offline
Poincare
Poincare
Brukerens avatar
Innlegg: 1367
Registrert: 28/08-2007 19:39
Bosted: Oslo

Innlegg moth » 14/07-2008 10:35

Ja, det har du vel rett i FredrikM. Takk for svaret!
moth offline
Hilbert
Hilbert
Innlegg: 1081
Registrert: 08/03-2008 19:47

Innlegg Janhaa » 14/07-2008 11:53

MatteNoob skrev:Nå har jeg fått litt hjelp her, og prøver igjen...
[tex]x = \frac{\sqrt 3}{2} \cdot \cos(\arctan(-\frac 13)) + \frac 12 \cdot \sin(\arctan(-\frac 13))[/tex]
Ifølge Wikipedias artikkel angående inverse trigonometriske funksjoner er:
[tex]x = \frac{\sqrt 3}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{\left(\frac{-1}{3}\right)^2 + 1}} + \frac 12 \cdot \frac{\frac{-1}{3}}{\sqrt{\left(\frac{-1}{3}\right)^2 + 1}} \\ \, \\ \, \\ x = \frac{ \frac{\sqrt 3}{\sqrt{\frac{10}{9}}} - \frac{\frac 13}{\sqrt{\frac{10}{9}}}}{2} = \underline{\underline{\frac{3\sqrt 3 -1}{2\sqrt{10}}}}[/tex]
Edit:
Jeg er inneforstått med at man kan gjøre svaret penere, og fjerne det irrasjonelle tallet fra nevneren. [tex]\frac{\left(3\sqrt{3}-1\right)\sqrt{10}}{20}[/tex]
Kom gjerne med en liknende oppgave til. Denne var veldig lærerik for meg. :]
EDIT:
Jeg tenkte litt mer på denne oppgaven, nå prøvde jeg dette:
[tex]x = \frac{\sqrt 3}{2} \cdot \cos(\arctan(-\frac 13)) + \frac 12 \cdot \sin(\arctan(-\frac 13))[/tex]
Rettvinklet trekant med følgende sider:
Hosliggende katet: -1
Motstående katet: 3
Hypotenus: [symbol:rot] 10
Vi har også at:
[tex]\tan(-x) = -\tan(x) \\ \, \\ \sin(-x) = -\sin(x) \\ \, \\ \cos(-x) = \cos(x)[/tex]
[tex]x = \frac{\sqrt 3}{2} \cdot \cancel{\cos}(\cancel{\arccos}(\frac{3}{\sqrt{10}})) + \frac 12 \cdot \cancel{\sin}(\cancel{\arcsin}(-\frac {1}{\sqrt{10}})) \\ \, \\ x = \frac{3\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{10}} = \underline{\underline{\frac{\left(3\sqrt 3 - 1\right) \cdot \sqrt{10}}{20}}}[/tex]

Ser bra ut dette, øvelse gjør mester!
Greia her er å bruke rettvinkla trekant og pytagoras.
Skal se om jeg kan trylle fram en til...
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Janhaa offline
Boltzmann
Boltzmann
Brukerens avatar
Innlegg: 7795
Registrert: 21/08-2006 02:46
Bosted: Grenland

Innlegg Janhaa » 14/07-2008 12:06

en til da, som ikke skulle by på særlig problemer;

[tex]\text{ finn den eksakte verdien av y når }\\ \arctan(y)\,-\,\arctan({1\over 2})\,=\,{\pi\over 3}[/tex]
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Janhaa offline
Boltzmann
Boltzmann
Brukerens avatar
Innlegg: 7795
Registrert: 21/08-2006 02:46
Bosted: Grenland

Innlegg =) » 14/07-2008 12:34

tan på begge sider gir;

[tex]\frac{y-1/2}{1+y/2}=\sqrt{3}[/tex]

[tex]y = \frac{2\sqrt{3}+1}{2-\sqrt{3}}[/tex]
[tex]\int_0^3 \frac{\left(x^3(3-x)\right)^{1/4}}{5-x}\, \mathrm{d}x = \frac{\pi}{2\sqrt{2}}\left(17-40^{3/4}\right)[/tex]
=) offline
Descartes
Descartes
Innlegg: 447
Registrert: 09/05-2007 21:41

Innlegg Janhaa » 14/07-2008 13:44

=) skrev:tan på begge sider gir;
[tex]\frac{y-1/2}{1+y/2}=\sqrt{3}[/tex]
[tex]y = \frac{2\sqrt{3}+1}{2-\sqrt{3}}[/tex]

Jupp,

-----------------------------------------

En siste oppgava av samme ulla;

[tex]\text {finn den eksakte verdien av} \\ Z=\cos(2x)\,+\,\tan(x+{\pi\over 4}) \\ \text{når $x=\arcsin({2\over 3})$}[/tex]
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Janhaa offline
Boltzmann
Boltzmann
Brukerens avatar
Innlegg: 7795
Registrert: 21/08-2006 02:46
Bosted: Grenland

Innlegg FredrikM » 14/07-2008 14:46

Janhaa skrev:[tex]\text {finn den eksakte verdien av} \\ Z=\cos(2x)\,+\,\tan(x+{\pi\over 4}) \\ \text{når $x=\arcsin({2\over 3})$}[/tex]

Tror svaret mitt er feil, men dette var muligens lærrikt, så svarer.

[tex]Z=cos^2(x)-sin^2(arcsin(\frac{2}{3}))+\frac{tan(x)+tan(\frac{\pi}{4})}{1-tan(x)\cdot tan(\frac{\pi}{4})}\\ Z=cos^2(x)-\frac{4}{9}+\frac{tan(x)+1}{1-tan(x)}\\ Z = cos^2(x)-\frac{4}{9}+\frac{2+3cos(x)}{3cosx-2}[/tex]
Så brukte jeg videre enhetssetningen til å finne en verdi for cos x, men jeg testet svaret jeg fikk så på kalkulator, og det stemmer ikke.

Forøvrig var dette svaret jeg kom fram til:
[tex]Z= \frac{1}{9}+\frac{2+\sqrt{5}}{\sqrt{5}-2}[/tex]
Cube - mathematical prethoughts | @MatematikkFakta
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)
FredrikM offline
Poincare
Poincare
Brukerens avatar
Innlegg: 1367
Registrert: 28/08-2007 19:39
Bosted: Oslo

Innlegg MatteNoob » 14/07-2008 14:57

Janhaa skrev:en til da, som ikke skulle by på særlig problemer;

[tex]\text finn den eksakte verdien av y n{\aa}r \\ \arctan(y)\,-\,\arctan({1\over 2})\,=\,{\pi\over 3}[/tex]


[tex]\arctan(y) = \frac \pi 3 + \arctan(\frac 12) \\ \, \\ y = \tan\left(\frac \pi 3 + \arctan(\frac 12)\right) \\ \, \\ y = \frac{ \tan(\frac \pi 3) + \frac 12}{1-\tan(\frac \pi 3) \cdot \frac 12} \\ \, \\ y = \frac{\sqrt 3 + \frac 12}{1-\frac{\sqrt 3}{2}} \\ \, \\ y = \frac{ \frac{2\sqrt 3 + 1}{2}}{\frac{2-\sqrt 3}{2}} \\ \, \\ y = \frac{2\sqrt 3 + 1}{2-\sqrt 3}[/tex]

Rekker ikke forkorte nå, fattern vil ta en kaffekopp med meg... Er det riktig o' store Janhaa-mannen? :)
Øver du til eksamen i matematikk? Se eksamensoppgaver med løsningsforslag.
Vil du ha egen webside, se her for å lage hjemmeside.
MatteNoob offline
Riemann
Riemann
Brukerens avatar
Innlegg: 1634
Registrert: 08/01-2008 14:53
Bosted: matematikk.net :)

Innlegg FredrikM » 14/07-2008 14:59

Se to poster lenger opp, du, så ser du at det stemmer pent.
Cube - mathematical prethoughts | @MatematikkFakta
Med forbehold om tullete feil. (både her og ellers)
FredrikM offline
Poincare
Poincare
Brukerens avatar
Innlegg: 1367
Registrert: 28/08-2007 19:39
Bosted: Oslo

Neste

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 6 gjester