Hvis man tenker på Pascal trekanten som vi kan bruke til å opphøye et binom (en sum av to ledd) i et naturlig tall:
[tex](a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^3[/tex] Her tror jeg den siste altså blir b^4 og ikke b^3. Sant?
Hvordan blir ;
[tex](a+b)^5=[/tex] da?
Noen som kan forklare nøyaktig hvordan man går fram for å opphøye naturlige tall som a og b i koeffisienter som er hentet fra Pascal trekanten.
Jeg kan prøve å lage Pascal trekanten;
------------------1------1-----------------
---------------1------2------1-------------
-----------1------3------3------1---------
-------1------4------6------4-----1-------
---1------5-----10----10------5-----1---
1-----6-----15-----20-----15----6------1
Håper noen kan forklare nå hvordan jeg setter koeffisientene.
Pascaltrekanten og 18 bokstav i gresk alfabet :)
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
Sist redigert av Wentworth den 05/06-2008 22:40, redigert 6 ganger totalt.
Det er kun to måter å leve livet på; det ene er å tro at alt er et mirakel og det andre er å tro at ingenting er et mirakel.
____________
Albert Einstein.
____________
Albert Einstein.
[tex](a+b)^5=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5[/tex]
Du ser sikkert hvordan trekanter skal fortsette, som du bruker bare dette som grunnlag for koeffsientene.
---------------------1--------------------- [tex](a+b)^0[/tex]
------------------1------1----------------- [tex](a+b)^1[/tex]
---------------1------2------1------------- [tex](a+b)^2[/tex]
-----------1------3------3------1--------- [tex](a+b)^3[/tex]
-------1------4------6------4-----1------- [tex](a+b)^4[/tex]
---1------5-----10----10------5-----1--- [tex](a+b)^5[/tex]
1-----6-----15-----20-----15----6------1[tex](a+b)^6[/tex]
etc...
Reglen er:
[tex](a+b)^n=\sum_{k=0}^n {n\choose k}a^kb^{n-k}[/tex]
Du ser sikkert hvordan trekanter skal fortsette, som du bruker bare dette som grunnlag for koeffsientene.
---------------------1--------------------- [tex](a+b)^0[/tex]
------------------1------1----------------- [tex](a+b)^1[/tex]
---------------1------2------1------------- [tex](a+b)^2[/tex]
-----------1------3------3------1--------- [tex](a+b)^3[/tex]
-------1------4------6------4-----1------- [tex](a+b)^4[/tex]
---1------5-----10----10------5-----1--- [tex](a+b)^5[/tex]
1-----6-----15-----20-----15----6------1[tex](a+b)^6[/tex]
etc...
Reglen er:
[tex](a+b)^n=\sum_{k=0}^n {n\choose k}a^kb^{n-k}[/tex]
-
- Dirichlet
- Innlegg: 199
- Registrert: 23/05-2008 16:44
- Sted: Bebyggelse
En liten komentar.
Legg merke til symetrien. Fra venstre mot høyre har du a og dens potenser synkende til a forsvinner helt på høyre side:
a[sup]5[/sup]...a[sup]4[/sup]... a[sup]3[/sup]...a[sup]2[/sup]......a[sup]1[/sup]...a[sup]0[/sup]
For b er det motsatt... der begynner man helt uten b for så i andre ledd fra høyre til b...så til b[sup]2[/sup]...osv og stiger helt til ...b[sup]5[/sup]. Samme systemet gjelder over hele systemet. Det er egentlig ganske enkelt å følge oppskriften når du har den inne.
Så den høyeste potensen x man skal begynne med for a og slutte med for b er den potensen som man fikk i det opprinnelige kvadratet (a+b)[sup]x[/sup]. Trakanten er bare en snedig måte å finne koeffesientene.
Legg merke til symetrien. Fra venstre mot høyre har du a og dens potenser synkende til a forsvinner helt på høyre side:
a[sup]5[/sup]...a[sup]4[/sup]... a[sup]3[/sup]...a[sup]2[/sup]......a[sup]1[/sup]...a[sup]0[/sup]
For b er det motsatt... der begynner man helt uten b for så i andre ledd fra høyre til b...så til b[sup]2[/sup]...osv og stiger helt til ...b[sup]5[/sup]. Samme systemet gjelder over hele systemet. Det er egentlig ganske enkelt å følge oppskriften når du har den inne.
Så den høyeste potensen x man skal begynne med for a og slutte med for b er den potensen som man fikk i det opprinnelige kvadratet (a+b)[sup]x[/sup]. Trakanten er bare en snedig måte å finne koeffesientene.
[tex]\sqrt{Alt \hspace9 ondt}[/tex]
Reglen er:
[tex](a+b)^n=\sum_{k=0}^n {n\choose k}a^kb^{n-k}[/tex]
Jeg prøver å forstå denne regelen.
Det sum tegnet som det står over k=0 og under n , hvordan leser man den?
Videre er binomialkoeffisienten lik 1 siden n over k (som er lik 0) gir 1. Ganger dett med a^koeffisienten k som gir null ganger med b^n som er en ukjent og som gir svaret, for minus k er 0, dermed står vi igjen med b^n.
Ettersom jeg skjønner det står vi igjen med kun b^n, kan det stemme, eller hvis noen kan utdype denne formelen så setter jeg selvfølgelig pris på det.
[tex](a+b)^n=\sum_{k=0}^n {n\choose k}a^kb^{n-k}[/tex]
Jeg prøver å forstå denne regelen.
Det sum tegnet som det står over k=0 og under n , hvordan leser man den?
Videre er binomialkoeffisienten lik 1 siden n over k (som er lik 0) gir 1. Ganger dett med a^koeffisienten k som gir null ganger med b^n som er en ukjent og som gir svaret, for minus k er 0, dermed står vi igjen med b^n.
Ettersom jeg skjønner det står vi igjen med kun b^n, kan det stemme, eller hvis noen kan utdype denne formelen så setter jeg selvfølgelig pris på det.
Stor Sigma betyr sum. Du kå sette inn 0 for k g addere det med samme utrykk, men denne gangen setter du inn 1 for k, så 2 for k etc... helt til du kommer til n.
Eksempel:
[tex]\sum_{k=0}^4 k^k=1^1+2^2+3^3+4^4=1+4+27+256=288[/tex]
Mer abstrakt:
[tex]\sum_{k=m}^n 2k=2m+2(m+1)+2(m+2)...+2(n-2)+2(n-1)+2n[/tex]
Eksempel:
[tex]\sum_{k=0}^4 k^k=1^1+2^2+3^3+4^4=1+4+27+256=288[/tex]
Mer abstrakt:
[tex]\sum_{k=m}^n 2k=2m+2(m+1)+2(m+2)...+2(n-2)+2(n-1)+2n[/tex]
Utrolig gode svar jeg får, lærer faktisk mye av det du har sagt hittil Espen.
Hvis jeg har forstått det riktig så blir ;
[tex](a+b)^6=a^6+6a^5b+15a^4b^2+20a^3b^3+15a^2b^4+6ab^5+b^6[/tex]
Jeg brukte symmetrien Tore Tangens fortalte om, utmerket!
Hvis jeg har forstått det riktig så blir ;
[tex](a+b)^6=a^6+6a^5b+15a^4b^2+20a^3b^3+15a^2b^4+6ab^5+b^6[/tex]
Jeg brukte symmetrien Tore Tangens fortalte om, utmerket!
Det er kun to måter å leve livet på; det ene er å tro at alt er et mirakel og det andre er å tro at ingenting er et mirakel.
____________
Albert Einstein.
____________
Albert Einstein.
En glede å være til hjelp!sxofield skrev:Utrolig gode svar jeg får, lærer faktisk mye av det du har sagt hittil Espen.
Er det noe du fortsatt lurer på, mens vi nå er her?
Det er så godt forklart om dette tema.
Jeg fant også ;
[tex](a+b)^7=a^7+7a^6b+21a^5b^2+35a^4b^3+35a^3b^4+21a^2b^5+7ab^6+b^7[/tex]
Jeg fant også ;
[tex](a+b)^7=a^7+7a^6b+21a^5b^2+35a^4b^3+35a^3b^4+21a^2b^5+7ab^6+b^7[/tex]
Det er kun to måter å leve livet på; det ene er å tro at alt er et mirakel og det andre er å tro at ingenting er et mirakel.
____________
Albert Einstein.
____________
Albert Einstein.
Kan noen gi meg en oppgave basert på stor Sigma, så har jeg veldig lyst til å løse den.Og takker for en eventuell oppgave.
Det er kun to måter å leve livet på; det ene er å tro at alt er et mirakel og det andre er å tro at ingenting er et mirakel.
____________
Albert Einstein.
____________
Albert Einstein.
Jeg vet ikke hvilke oppgaver du vil ha, men de burde vel ikke være så vanskelige å lage selv?
[tex]\sum_{n=0}^5 n^2[/tex]
[tex]\sum_{n=0}^4 n(n+2)[/tex]
[tex]\sum_{n=1}^3 \frac {n+2}n[/tex]
etc.
[tex]\sum_{n=0}^5 n^2[/tex]
[tex]\sum_{n=0}^4 n(n+2)[/tex]
[tex]\sum_{n=1}^3 \frac {n+2}n[/tex]
etc.
[tex]\sum_{n=0}^5 n^2=1^2+2^2+3^2+4^2+5^2=svaret?[/tex]
[tex]\sum_{n=0}^4 n(n+2)=1(4+2)+2(3+2)+3(2+2)+4(1+2)=svaret?[/tex]
[tex]\sum_{n=1}^3 \frac {n+2}n[/tex]
etc.[/quote]
[tex]\sum_{n=0}^4 n(n+2)=1(4+2)+2(3+2)+3(2+2)+4(1+2)=svaret?[/tex]
[tex]\sum_{n=1}^3 \frac {n+2}n[/tex]
etc.[/quote]
Sist redigert av Wentworth den 05/06-2008 21:26, redigert 3 ganger totalt.
For å være ærlig kan jeg ingenting om summer, men jeg tror de løses slik:
[tex]\sum_{n=0}^4 n(n+2)=0(0+2)+1(1+2)+2(2+2)+3(3+2) + 4(4+2)[/tex]
[tex]\sum_{n=1}^3 \frac {n+2}n = \frac {1+2}1 + \frac {2+2}2 + \frac {3+2}3[/tex]
[tex]\sum_{n=0}^4 n(n+2)=0(0+2)+1(1+2)+2(2+2)+3(3+2) + 4(4+2)[/tex]
[tex]\sum_{n=1}^3 \frac {n+2}n = \frac {1+2}1 + \frac {2+2}2 + \frac {3+2}3[/tex]
Jeg prøver igjen som jeg tror det er;
[tex]\sum_{n=0}^5 n^2=1^2+2^2+3^2+4^2=svaret?[/tex]
[tex]\sum_{n=0}^4 n(n+2)=1(1+2)+2(2+2)+3(3+2)+4(4+2)=svaret?[/tex]
[tex]\sum_{n=1}^3 \frac {n+2}n=\frac{1+2}{1}+\frac{2+2}{2}+\frac{3+2}{3}=svaret?[/tex]
[tex]\sum_{n=0}^5 n^2=1^2+2^2+3^2+4^2=svaret?[/tex]
[tex]\sum_{n=0}^4 n(n+2)=1(1+2)+2(2+2)+3(3+2)+4(4+2)=svaret?[/tex]
[tex]\sum_{n=1}^3 \frac {n+2}n=\frac{1+2}{1}+\frac{2+2}{2}+\frac{3+2}{3}=svaret?[/tex]
Det er kun to måter å leve livet på; det ene er å tro at alt er et mirakel og det andre er å tro at ingenting er et mirakel.
____________
Albert Einstein.
____________
Albert Einstein.