Løse arealproblem - eksakt

[gamlemich]

Tenk deg en sirkel med radius 100. Tegn en ny sirkel med sentrum på den førstes periferi og radius R. Hvor stor må R være for at fellesarealet for de to sirklene skal være halvparten av arealet til sirkelen med radius 100?

Jeg har funnet flere måter og regne det ut (med mange siffers nøyaktighet ...), men finnes det en gløgg en som kan løse oppgaven slik at man sitter igjen med et helt eksakt svar ...?

Kontakt meg gjerne på mail: permich9@hotmail.com

gamlemich

[bartleif]

Hvor presist vil du ha det da? Mange desimaler?
Sett [tex]\frac1{2}\pi \cdot 10000=\pi r^2[/tex] og finn hva r må være i det tilfelle. Bruk windowskalkulatoren hvis du vil ha mange desimaler

[gamlemich]

Hei Bartleif!

Problemet er ikke så enkelt. Det er FELLESAREALET som skal være halvparten av arealet til den første sirklen ... .

Gamlemich

[mrcreosote]

Det beste svaret du kan få på dette er en ligning R må tilfredsstille og denne kan ikke løses eksakt. (Ligninga x=cos x er et eksempel på noe som ikke kan løses eksakt.)

Å sette opp denne ligninga krever ikke noe utover litt enkel geometrikunnskap og kanskje kjennskap til inverse trigonometriske funksjoner.

[gamlemich]

Mr Creosote !

Det er dette jeg dessverre tror. Etter bruk av flere metoder kommer jeg fram til en likning av typen x = cos x (kanskje litt styggere ...).
Men siden problemet virker så enkelt og fundamentalt så håper jeg på en "eksakt løsning". Kanskje ikke noe enkel tall, men kanskje en kombinasjon av kjente matematiske konstanter. Og de er de jo mange av ...
Gamlemich

[mrcreosote]

Blir noe styggere ja, og det er nok ikke løsbart. Jeg har kikka på problemet en gang tidligere, og kom fram til en ukoselig ligning. Trur jeg slo opp problemet en eller annen plass som konkluderte med at man ikke kom lenger, men du må gjerne prøve.

[bartleif]

Tenkte på det her Er jo noe helt anett eg har svart på, har en tendens til å gjøre slikt

[Knuta]

Har jeg misforstått deg rett?



Radius på den lille sirkelen: 100
Radius på den store: [symbol:rot] 15000

[Knuta]

Dobbelt æsj.

Tegningen er riktig, men arealene på sirklene er forbyttet. Det gikk litt fort i svingen.

[mrcreosote]

Med x som forholdet mellom radiene i sirklene endte jeg opp med denne ligninga som sikkert kan forenkles:

[tex]\pi+2x^2\arccos(\frac x2)=2x\sqrt{1-\frac{x^2}4}+4\arccos(\frac x2)[/tex]

[mrcreosote]

Trur det blir for stor radius, Knuta. Tegn en vertikal diameter i den minste sirkelen, så blir det klart.

[Charlatan]

Bare for informasjon, så betyr ikke at noe som ikke kan løses eksakt, ikke har en eksakt løsning hvis det i det hele tatt har en.

Man pleier å si at hvis en likning ikke har løsning i elementærfunksjonene har den ingen eksakt løsning. Poenget er at man kan definere sin egen funksjon, f.eks sette f(x)=x-cosx, og la Q være inversen til f. Da vil Q(0) være den eksakte løsningen på likningen, selv om man ikke vet hva Q(x) er i elementær funksjoner.

Å løse en likning eksakt for x eksakt, er vel per definisjon å få x=(et uttrykk), og det kan man i alle tilfeller gjøre selv om ikke uttrykket består av elementærfunksjoner (gitt at en løsning eksisterer)

[Knuta]

Trur det blir for stor radius, Knuta. Tegn en vertikal diameter i den minste sirkelen, så blir det klart.

Det stemmer det. Jeg ble avbrutt midt i arbeidet, og da jeg fortsatte så beregnet jeg noe helt annet. Jeg hater avbrytelser.