matematikk.net

Noen som har lyst å prøve seg?

[tex]\sqrt{4^x} = \sqrt{21x + 1}[/tex]

Tror ikke det er noen direkte algebraisk måte å løse denne på, et svar er dog 0 (det ser man lett)

Ja, for 4 opphøyd i null blir 1.
Men det er fler svar. Du kan visstnok gjøre noe sånt:

[tex]x = \frac{-log4 - 21productlog [-1, - \frac{log4}{21,2^{2/21}}]}{21log4}[/tex]

Jeg skjønner ikke helt hva som skjer, men svaret blir visst 3. Det er ett svar til, noen som klarer det?

thmo wrote:Ja, for 4 opphøyd i null blir 1.
Men det er fler svar. Du kan visstnok gjøre noe sånt:
[tex]x = \frac{-log4 - 21productlog [-1, - \frac{log4}{21,2^{2/21}}]}{21log4}[/tex]
Jeg skjønner ikke helt hva som skjer, men svaret blir visst 3. Det er ett svar til, noen som klarer det?

Lamberts omega funksjon brukes der...

x = 0 eller x = 3

Ikke det at Janhaa ikke skrev det, men det blir ikke noe tredje svar, og det ville du også sett om du plottet det inn i en graf!

Så [tex]- 1.52544 * 10^{-17}[/tex] er ikke ett svar?

Product log er funksjonskoden som brukes for Lamberts omegafunksjon i Wolfram, integrator etc (som du har i likninga di).

thmo wrote:Så [tex]- 1.52544 * 10^{-17}[/tex] er ikke ett svar?

er vel ganske nær null, eller hur?

Ja, det er vel det.
Så Lamberts omegafunksjon altså, er det veldig komplisert kanskje?

*slettet*

Altså:

[tex]4^x=21x+1 \\ \Rightarrow 1 = \frac{21x+1}{4x} =(21x+1)e^{(-xln4)}\\ \Rightarrow \frac{1}{21}=xe^{(-x\ln4)} + e^{(-x\ln4)}\\ \Rightarrow \frac{-\ln4}{21}=(-xe\ln4)e^{(-x\ln4)}-\ln{4}e^{(-x\ln{4})}[/tex]

Er det så her et mirakel skjer?

thmo wrote:Ja, det er vel det.
Så Lamberts omegafunksjon altså, er det veldig komplisert kanskje?

her følger en link som forklarer en løsning av en likning vha
Lamberts omegafunksjon. daofeishi lærte oss dette:

http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... gafunksjon

Takk for linken, det må jeg lære meg.
Og takk for alle svarene, vi har vel kommet frem til at det kun er 2 svar då

Med Lamberts W-funksjon (den inverse funksjonen til xe[sup]x[/sup]):

Kriterie: [tex]x \geq \frac{1}{-21}[/tex]

[tex]\begin{align} 4^x &= 21x+1 \\ e^{\ln(4)x} &=21x+1 \\ (21x+1)e^{-\ln(4)x} &=1 \\ (-\ln(4)x - \frac{\ln (4)}{21})e^{-ln(4)x} &= -\frac{\ln(4)}{21} \\ (-\ln(4)x - \frac{\ln(4)}{21})e^{-ln(4)x-\frac{\ln(4)}{21}} &= - \frac{ \ln(4) }{ 21 \cdot \sqrt[21]{4} }\\ -ln(4)x-\frac{\ln(4)}{21} &= W \left( -\frac{\ln(4)}{21 \cdot \sqrt[21]{4}} \right) \\ x &= -\frac{1}{\ln(4)} W \left( -\frac{\ln(4)}{21 \cdot \sqrt[21]{4}} \right) - \frac{1}{21}}\end{align}[/tex]

Vi ser at løsningen må oppfylle kriteriet siden argumentet til W-funksjonen ligger i regionen < 0 (og derfor er mindre enn 0)

Formelt kan man argumentere sånn: Vi vil finne alle nullpunkter til f(x)=4^x-21x-1 der 21x+1 er minst 0. Siden f er strengt konveks overalt (f''(x)>0 for alle x), kan f ha høyst 2 nullpunkter. (Hvorfor?) Men vi har allerede funnet at f(0)=f(3)=0, så 0 og 3 må være de eneste nullpunktene.