Noen som har lyst å prøve seg?
[tex]\sqrt{4^x} = \sqrt{21x + 1}[/tex]
En litt vanskelig ligning... kanskje
Moderators: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Tror ikke det er noen direkte algebraisk måte å løse denne på, et svar er dog 0 (det ser man lett)
Vaticinatio quae numeris Romanis utitur vetustior est milibus annis quam ulla ratio sera quae scriptis Arabicis utitur!
Ja, for 4 opphøyd i null blir 1.
Men det er fler svar. Du kan visstnok gjøre noe sånt:
[tex]x = \frac{-log4 - 21productlog [-1, - \frac{log4}{21,2^{2/21}}]}{21log4}[/tex]
Jeg skjønner ikke helt hva som skjer, men svaret blir visst 3. Det er ett svar til, noen som klarer det?
Men det er fler svar. Du kan visstnok gjøre noe sånt:
[tex]x = \frac{-log4 - 21productlog [-1, - \frac{log4}{21,2^{2/21}}]}{21log4}[/tex]
Jeg skjønner ikke helt hva som skjer, men svaret blir visst 3. Det er ett svar til, noen som klarer det?
Lamberts omega funksjon brukes der...thmo wrote:Ja, for 4 opphøyd i null blir 1.
Men det er fler svar. Du kan visstnok gjøre noe sånt:
[tex]x = \frac{-log4 - 21productlog [-1, - \frac{log4}{21,2^{2/21}}]}{21log4}[/tex]
Jeg skjønner ikke helt hva som skjer, men svaret blir visst 3. Det er ett svar til, noen som klarer det?
x = 0 eller x = 3
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Product log er funksjonskoden som brukes for Lamberts omegafunksjon i Wolfram, integrator etc (som du har i likninga di).
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
er vel ganske nær null, eller hur?thmo wrote:Så [tex]- 1.52544 * 10^{-17}[/tex] er ikke ett svar?
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Altså:
[tex]4^x=21x+1 \\ \Rightarrow 1 = \frac{21x+1}{4x} =(21x+1)e^{(-xln4)}\\ \Rightarrow \frac{1}{21}=xe^{(-x\ln4)} + e^{(-x\ln4)}\\ \Rightarrow \frac{-\ln4}{21}=(-xe\ln4)e^{(-x\ln4)}-\ln{4}e^{(-x\ln{4})}[/tex]
Er det så her et mirakel skjer?
[tex]4^x=21x+1 \\ \Rightarrow 1 = \frac{21x+1}{4x} =(21x+1)e^{(-xln4)}\\ \Rightarrow \frac{1}{21}=xe^{(-x\ln4)} + e^{(-x\ln4)}\\ \Rightarrow \frac{-\ln4}{21}=(-xe\ln4)e^{(-x\ln4)}-\ln{4}e^{(-x\ln{4})}[/tex]
Er det så her et mirakel skjer?
Vaticinatio quae numeris Romanis utitur vetustior est milibus annis quam ulla ratio sera quae scriptis Arabicis utitur!
her følger en link som forklarer en løsning av en likning vhathmo wrote:Ja, det er vel det.
Så Lamberts omegafunksjon altså, er det veldig komplisert kanskje?
Lamberts omegafunksjon. daofeishi lærte oss dette:
http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... gafunksjon
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Med Lamberts W-funksjon (den inverse funksjonen til xe[sup]x[/sup]):
Kriterie: [tex]x \geq \frac{1}{-21}[/tex]
[tex]\begin{align} 4^x &= 21x+1 \\ e^{\ln(4)x} &=21x+1 \\ (21x+1)e^{-\ln(4)x} &=1 \\ (-\ln(4)x - \frac{\ln (4)}{21})e^{-ln(4)x} &= -\frac{\ln(4)}{21} \\ (-\ln(4)x - \frac{\ln(4)}{21})e^{-ln(4)x-\frac{\ln(4)}{21}} &= - \frac{ \ln(4) }{ 21 \cdot \sqrt[21]{4} }\\ -ln(4)x-\frac{\ln(4)}{21} &= W \left( -\frac{\ln(4)}{21 \cdot \sqrt[21]{4}} \right) \\ x &= -\frac{1}{\ln(4)} W \left( -\frac{\ln(4)}{21 \cdot \sqrt[21]{4}} \right) - \frac{1}{21}}\end{align}[/tex]
Vi ser at løsningen må oppfylle kriteriet siden argumentet til W-funksjonen ligger i regionen < 0 (og derfor er mindre enn 0)
Kriterie: [tex]x \geq \frac{1}{-21}[/tex]
[tex]\begin{align} 4^x &= 21x+1 \\ e^{\ln(4)x} &=21x+1 \\ (21x+1)e^{-\ln(4)x} &=1 \\ (-\ln(4)x - \frac{\ln (4)}{21})e^{-ln(4)x} &= -\frac{\ln(4)}{21} \\ (-\ln(4)x - \frac{\ln(4)}{21})e^{-ln(4)x-\frac{\ln(4)}{21}} &= - \frac{ \ln(4) }{ 21 \cdot \sqrt[21]{4} }\\ -ln(4)x-\frac{\ln(4)}{21} &= W \left( -\frac{\ln(4)}{21 \cdot \sqrt[21]{4}} \right) \\ x &= -\frac{1}{\ln(4)} W \left( -\frac{\ln(4)}{21 \cdot \sqrt[21]{4}} \right) - \frac{1}{21}}\end{align}[/tex]
Vi ser at løsningen må oppfylle kriteriet siden argumentet til W-funksjonen ligger i regionen < 0 (og derfor er mindre enn 0)
-
mrcreosote
- Guru
- Posts: 1995
- Joined: 10/10-2006 20:58
Formelt kan man argumentere sånn: Vi vil finne alle nullpunkter til f(x)=4^x-21x-1 der 21x+1 er minst 0. Siden f er strengt konveks overalt (f''(x)>0 for alle x), kan f ha høyst 2 nullpunkter. (Hvorfor?) Men vi har allerede funnet at f(0)=f(3)=0, så 0 og 3 må være de eneste nullpunktene.