Tangerende vinkel

31/03-2008 09:55

Finn [tex]f(x)[/tex]s tangerende vinkel på [tex]g(x)[/tex] ved første krysning etter origo når:

[tex]f(x)=\cos(x)[/tex]
[tex]g(x)=\sin(x)[/tex]

31/03-2008 12:22

Begynner med å finne krysningspunktet.

[tex]\cos(x) = \sin(x)[/tex]

Denne likheten stemmer når [tex]x = \frac{\pi}{4}[/tex], da en likebeina trekant med vinkler på [tex]\frac{\pi}{4} = 45^\circ[/tex] vil ha samme sinus- og cosinus-verdi for disse vinklene.

Krysningspunktet er altså [tex]\left(\frac{\pi}{4}, f(\frac{\pi}{4})\right) = \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)[/tex]

Stigningstallet til de to tangentene til henholdsvis f og g finner vi ved å derivere funksjonene.

[tex]f^\prime(x) = -\sin(x)[/tex]

[tex]g^\prime(x) = \cos(x)[/tex]

Linjene [tex]y_1 = f^\prime(\frac{\pi}{4})x = -\sin(\frac{\pi}{4})x = -\frac{\sqrt{2}}{2}x[/tex] og [tex]y_2 = g^\prime(\frac{\pi}{4})x = \cos(\frac{\pi}{4})x = \frac{\sqrt{2}}{2}x[/tex] er parallelle med henholdsvis tangenten til f i krysningspunktet og tangenten til g i krysningspunktet.

Stigningstallet til [tex]y_1[/tex]er det samme som tangens til vinkelen mellom linja og x-aksen. Da må vinkelen linja danner med x-aksen være [tex]\alpha = \tan^{-1} \left(\left|-\frac{\sqrt{2}}{2}\right|\right) \approx 35.26^\circ[/tex]. Siden tangenten til f i krysningspunktet er parallell med denne, danner også denne samme vinkel med x-aksen.

Linja [tex]y_2[/tex] danner vinkelen [tex]\beta = \tan^{-1} \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \approx 35.26^\circ[/tex] med x-aksen, og siden denne linja er parallell med tangenten til g, har også tangenten til g samme vinkel med x-aksen.

Den resterende vinkelen, som er vinkelen mellom de to linjene må være [tex]180^\circ - \alpha - \beta = 109,48^\circ[/tex].

Stemmer dette?

Edit: skreiv om til radianer som vinkelmål. Det passer bedre med tanke på koordinatsystem, etc.

31/03-2008 15:33

Nå har jeg prøvd to forskjellige metoder for å løse oppgaven.

Svaret jeg fikk på den første var 124.57.

Svaret jeg fikk på den andre var 165.93.

Her er et bilde av de tre vinklene. Målestokk x=1,y=1

31/03-2008 15:43

Jeg misforsto nok oppgaven. Hva mener du med tangerende vinkel? Og hva er det riktige svaret?

31/03-2008 15:54

Det jeg mente med "tangerende vinkel" var vinkelen mellom tangentene til [tex]f(x)[/tex] og [tex]g(x)[/tex], for eksempel den "tangerende vinkelen" mellom [tex]f(x)=x[/tex] og [tex]g(x)=-x[/tex] er 90 grader.

Regnet du med grader eller radianer? Jeg glemte å spesifisere i oppgaven. Jeg tror svaret er en av de to jeg nevnte i forrige inlegg, 124.57 eller 165.93, men jeg er heller ikke 100% sikker. Håpet noen på forumet her kunne greie den.

31/03-2008 16:01

Da misforsto jeg deg ikke. Ser heller ikke hva jeg kan ha gjort feil her. Vi får vente til noen flinke klarer det

Om jeg regnet med grader eller radianer skal vel ikke ha stort å si? Det eneste jeg kunne ha byttet ut da, er [tex]45^\circ[/tex] med [tex]\frac{\pi}{4}[/tex], men sinus og cosinus til disse er jo begge like.

groupie · 31/03-2008 16:26

Jeg holder en knapp på vektormannen, ser ikke noe galt i utregningen der.

31/03-2008 17:43

Prøv det jeg gjorde og se om du får samme svar.

Jeg fant tangenten til [tex]sin(x), x=45[/tex] og [tex]cos(x), x=45[/tex]. Så viste det seg at [tex]Tangent \, f(x)=Tangent \, g(x) \cdot -1[/tex] fordi [tex]\sin(45)=\cos(45), \sin^\prime x=\cos x, \cos^\prime x=-\sin x[/tex]. Dermed er [tex]\angle f(x)=\angle g(x) \cdot -1[/tex].

Siden det ikke har noe å si hvor tangentene treffer hverandre flytter jeg dem til origo slik at de danner et kryss. Nå finner jeg punktet på x-aksen der [tex]Tangent \, f(x)=1[/tex]. Nå kan vi finne [tex]\angle Tangent \, f(x)[/tex] på x-aksen ved å bruke tangens. Så ganger vi med fire og trekker produktet fra 360 og deler på 2. Nå har vi den butte vinkelen. [tex]\frac{360-(\angle x \cdot 4)}{2}=Tangeringsvinkel[/tex].

Fremgangsmåten er en noe annen enn din, men den ser logisk ut for meg.

31/03-2008 17:43

Dobbelpost, beklager.

Knuta · 31/03-2008 20:01

Vektormannen wrote: Stigningstallet til [tex]y_1[/tex]er det samme som tangens til vinkelen mellom linja og x-aksen. Da må vinkelen linja danner med x-aksen være [tex]\alpha = \tan^{-1} \left(\left|-\frac{\sqrt{2}}{2}\right|\right) \approx 35.26^\circ[/tex]. Siden tangenten til f i krysningspunktet er parallell med denne, danner også denne samme vinkel med x-aksen.

Linja [tex]y_2[/tex] danner vinkelen [tex]\beta = \tan^{-1} \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \approx 35.26^\circ[/tex] med x-aksen, og siden denne linja er parallell med tangenten til g, har også tangenten til g samme vinkel med x-aksen.

Det ser ikke så galt ut dine utregninger. Ved bruk av geogebra får jeg denne målingen.

31/03-2008 20:07

Du må måle i x antall grader, ikke radianer. Da blir vinklene helt annerledes.

31/03-2008 20:13

Hvor sikter du til nå? Om samme vinkel framstilles i grader eller radianer skal vel ikke ha stort å si?

31/03-2008 20:43

Knuta wrote:
Vektormannen wrote: Stigningstallet til [tex]y_1[/tex]er det samme som tangens til vinkelen mellom linja og x-aksen. Da må vinkelen linja danner med x-aksen være [tex]\alpha = \tan^{-1} \left(\left|-\frac{\sqrt{2}}{2}\right|\right) \approx 35.26^\circ[/tex]. Siden tangenten til f i krysningspunktet er parallell med denne, danner også denne samme vinkel med x-aksen.

Linja [tex]y_2[/tex] danner vinkelen [tex]\beta = \tan^{-1} \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \approx 35.26^\circ[/tex] med x-aksen, og siden denne linja er parallell med tangenten til g, har også tangenten til g samme vinkel med x-aksen.
Det ser ikke så galt ut dine utregninger. Ved bruk av geogebra får jeg denne målingen.

I posten min øverst her gikk jeg ut fra vinkelen mellom f og g ovenfor krysningspunktet. Den blir som jeg fant [tex]109,48^\circ[/tex]. Jeg tenkte ikke over den andre vinkelen til høyre og venstre av krysningspunktet. Disse vil være [tex]35.26^\circ \cdot 2 = 70.52^\circ[/tex]

31/03-2008 20:45

Da så.

Men hvordan blir vinklene når en viser x antall grader, for da blir kurven slakere.

31/03-2008 20:51

Det stemmer, var derfor jeg byttet til radianer, slik at funksjonene kan tegnes i et 'vanlig' koordinatsystem med reelle akser. Siden grader ikke er reelle tall kan de vel heller ikke være argumenter til funksjoner i koordinatsystemet?