Rekker

[espen180]

Jeg har akkurat begynt å se på rekker, og lurer på om jeg har forstått det riktig.

[tex]\sum_{0} ^{\infty} \frac{1}{2^n} = 2[/tex] fordi [tex]1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}...+\frac{1}{\infty}=2[/tex]

[tex]\sum_{0} ^{\infty} n = \infty[/tex] fordi [tex]1+2+3+4+5+6...+\infty=\infty[/tex]

Men hvordan finner jeg svaret når det noe lignende som:

[tex]\sum_{n} ^{k} n+k[/tex]

Eller:

[tex]\lim_{n \to k} \sum_{n} ^{k} n+k[/tex]

Jeg går ut fra at den siste er [tex]2k[/tex] fordi [tex]\sum_{k} ^{k} k+k = 2k[/tex][/tex]

[Vektormannen]

Er notasjonen din helt korrekt?

I den første der er det vel f.eks. mest vanlig å skrive [tex]\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{2^n}[/tex]?

På den nest siste der, mener du [tex]\sum_{n = 0}^{k} n + k[/tex]? I såfall kan k settes utenfor sum-uttrykket siden den er faktor i alle ledd, [tex]k \sum_{n = 0}^{k} n = k \cdot \frac{k(k + 1)}{2}[/tex]

[espen180]

Jeg forstår ikke. Hvordan får man at [tex]\sum_{n=0}^{k} n+k=k \cdot \frac{k(k+1)}{2}[/tex] ?

Var dessuten svarene på den første, andre og fjerde rekken riktige?

[ettam]

Jeg forstår ikke. Hvordan får man at [tex]\sum_{n=0}^{k} n+k=k \cdot \frac{k(k+1)}{2}[/tex] ?

Du mener vel:

[tex]\sum_{n=0}^{k} (n+k)=k \cdot \frac{k(k+1)}{2}[/tex]

Dette er ei aritmetisk rekke. Hva trenger du å vite for å finne summen av den da?

[espen180]

Jeg vet at summen av [tex]a_1[/tex] til og med [tex]a_n[/tex] gis ved [tex]S_n=n\frac{a_1+a_n}{2}[/tex], men jeg vet ikke hvordan jeg bruker dette i denne rekken. Hvis jeg har forstått det riktig, tilsvarer [tex]a_n[/tex] det n'te leddet i summen, f.eks [tex]\sum_{n=0}^{\infty} n[/tex] [tex]S_3=3\frac{1+3}{2}=6=(0+1+2+3)[/tex].

Er det riktig at i [tex]\sum_{n=0}^{k} (n+k)[/tex] er [tex]k[/tex] å betrakte som en kostant og [tex]n[/tex] som en variabel?

[Vektormannen]

Ja, k er jo opplagt konstant -- det er jo den øvre grensen i summen. Det er n som varierer fra 0 til og med k. Siden k vil forekomme k antall ganger, kan du skrive uttrykket enklere:

[tex]\sum_{n = 0}^{k} (n + k) = (0 + k) + (1 + k) + (2 + k) + (3 + k) ... + (k + k) = (1 + 2 + 3 + ... + k) + (k + k + k + ... + k) = (1 + 2 + 3 + ... + k) + (k + 1) \cdot k = \sum_{n = 0}^{k} n + k(k + 1) = k(k + 1) + \frac{k(k+1)}{2}[/tex]

Edit: tenkte ikke helt klart der nei ...

[Charlatan]

[tex]\sum ^k_{n=0}(n+k)=k+\sum^k_{n=1}(n+k)=k+\frac{k}{2}[(k+1)+(k+k)]=\frac{k}{2}(3k+3))=\frac{3k}{2}(k+1)[/tex]

[espen180]

[tex](1+2+3...+k)+(k+k+k...+k)[/tex] virker logisk ja.

Kan hende jeg bare surrer, men ifølge [tex]S_n=n\frac{a_1+a_n}{2}[/tex] burde vel ledd nummer k i summen være [tex]k\frac{(1+k)+(2k)}{2}[/tex]?

Jeg prøvde vedå sette [tex]k=3[/tex] og [tex]k=15[/tex] og det stemte.

[Vektormannen]

Nei, har du sett ... fiksa det nå.

[espen180]

Ja, nå ser jeg det. Jeg glemte visst å ta med ledd 0.

Hvordan blir det her: [tex]\lim_{a \to k} \sum_{n=a}^{k} n+k[/tex]

Det blir vel noe lignende som: [tex]\lim_{a \to k} \sum_{n=a}^{k} n+k=\lim_{h \to 0} (k-h)+k[/tex]

[Bogfjellmo]

Typisk er jo både a og k heltall, så da er det litt vanskelig å si hva [tex]\displaystyle \lim_{a \rightarrow k}[/tex] egentlig skal bety, forskjellen mellom dem kan jo ikke være mindre enn 1, med mindre den er null.

Forstår heller ikke helt hvorfor du ønsker å ta en grenseverdi her i det hele tatt.

[espen180]

Det har ingen praktisk grunn. Mest for å lære.