Integrasjon og volum

[Rickman]

Et par integrasjonsoppgaver;

Skal integrere A(X) = (2+0,2x)^2

Har bynt på denne, med å bruke variabelskifte, men vet ikke hovrdan jeg gjør u'=0,2 til en variabel for du.

Den andre lyder slik;

En snittflate av et drikkehorn fra vikingtiden er vinkelrett på x-aksen, og er en sirkel med radius x/6.
"Hvor mye mjød var det plass til i hornet?"

(Hornet er 24cm høyt)

[ettam]

Skal integrere A(X) = (2+0,2x)^2

Har bynt på denne, med å bruke variabelskifte, men vet ikke hovrdan jeg gjør u'=0,2 til en variabel for du.

Greit nok at du prøver med variabelskifte, men hvorfor ikke forandre litt på [tex]A(x)[/tex], slik:

[tex]A(x) = (2+0,2x)^2 = 4+0,8x+ 0,04x^2[/tex]

[ettam]

Den andre lyder slik;

En snittflate av et drikkehorn fra vikingtiden er vinkelrett på x-aksen, og er en sirkel med radius x/6.
"Hvor mye mjød var det plass til i hornet?"

(Hornet er 24cm høyt)

Løs dette integralet:

[tex]V = \pi \int_0^{24} \left(\frac{x}{6}\right)^2 \, dx[/tex]

[Rickman]

Er vel egentlig det jeg sliter med
Ikke helt sikker hvordan jeg skal integrere den

[Vektormannen]

Du kan skrive litt om på det da.

[tex]\int \left(\frac{x}{6}\right)^2 dx = \int \frac{x^2}{36} dx = \frac{1}{36} \int x^2 dx[/tex]

Og den klarer du vel forhåpentligvis å integrere.

[Rickman]

1/36 * 1/3 x^3

blir dette rett?

(svaret skal bli 402 ml, jeg får 128 med dette integralet)

[Vektormannen]

Ja.

[ettam]

1/36 * 1/3 x^3

blir dette rett?

(svaret skal bli 402 ml, jeg får 128 med dette integralet)

Du har vel glemt å gange med [tex]\pi[/tex] da...

[Rickman]

Takk for svar. Denne skjønner jeg ikke kløyva døyt av;

Skal utlede formelen for volumet av en kjegle med høyde h og grunnflateradius R.

Start med å vise at en snittflate vinkelrett på x-aksen blir en sirkel med radius r x= (R/h)x (r x betyr ikke r*x)

Svar; (1/3)*pi*R^2*h

[Janhaa]

[tex]y=\frac{R}{h}x[/tex]

[tex]V=\pi \int_0^h y^2 {\rm dx}[/tex]

sett inn og integrer...og du finner volumet...

[Rickman]

En til jeg lurer på;

Har en vispebolle. Innvendig høyde er 15 cm, og innvendig radius av grunnflaten er 6 cm.
Den innvendige konturen av bollen føger grafen til funksjonen; f(x) = [symbol:rot](8x+52)

Når vi dreier grafen 360 grader om x-aksen får vi dannet et omdreiningslegeme. Finn volumet av bollen.

Svar; 4524 cm^3

Hvordan løser jeg dette?

[Janhaa]

dette skal være riktig, nå kan du tegne figur og se om du skjønner
grensene osv:

[tex]V=\pi \int_{-2}^{13}(f(x))^2\,{\rm dx}[/tex]

[Rickman]

Fikk den til nå ja

En annen oppgave jeg har lyder slik;

"Vi har en blomstervase, der formen er bestemt av de to grafene;

f(x) = [symbol:rot] (0,5x-1) og g(x) = (x^0,3)+1

Bruker 1cm som enhet på begge aksene. Grafene i f og g avgrenser sammen med linjene x=0 og x=20 en flate s. Blomstervasen fremkommer ved at vi dreier flaten s om x-aksen.

a) Hvor mye vann går i vasen?

Slik har jeg regnet;

V=Vg(x) - Vf(x)

= ([symbol:pi] * [symbol:integral] g(x)^2 dx) -([symbol:pi] * [symbol:integral] f(x)^2 dx) = 283 cm^3

Med x-verdiene [0,20] for g(x) og [2,20] for f(x)

Svaret jeg fikk viser seg å være volumet av vasen. Mengden vann som går i vasen skal bli 254 ml

[Vektormannen]

Hvis du tegner opp grafene ser du at det indre tomrommet (der det kan fylles vann) av vasen avgrenses av grafen til f(x). Det som ligger mellom f(x) og g(x) vil utgjøre den solide kanten i vasen. Det er området mellom x-aksen og grafen til f(x) som kan fylles med vann, og derfor er det den flaten du må dreie om aksen. Volumet med vann som går i vasen er altså gitt ved:

[tex]V = \pi \int_{2}^{20} (f(x))^2 dx[/tex]