Integral 6

[nybegynner]

[tex]\lim_{n\rightarrow\infty}\:n^4e^{-n^3}\:\int\int \:e^{x^3+y^3}\:dxdy[/tex]
over trekanten med hjørner i [tex](0,0),\:[/tex] [tex](0,n)\:[/tex] og [tex](n,0)[/tex].


Edit: Endret fra [tex]e^{x^2+y^2}[/tex] til [tex]e^{x^3+y^3}[/tex].

[Bogfjellmo]

Integranden er positiv i hele planet, så integralet er positivt og om vi utvider integrasjonsområdet til sirkelsektoren som har radius n og ligger mellom positiv x- og y-akse, må vi få et tall som er større.

[tex]\displaystyle I_s(n) = \int \int e^{x^2+y^2} dx dy = \frac {\pi}{4} \int_0^n 2r e^{r^2} dr = \frac {\pi}{4}(e^{n^2}-1)[/tex]

Her er [tex]I_s[/tex] integralet over sirkelsektoren beskrevet over.

[tex]\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}n^4 e^{-n^3} I_s(n) = \lim_{n \rightarrow \infty}\frac {\pi}{4} n^4 e^{-n^3} (e^{n^2}-1) = 0[/tex]

Så vi må ha

[tex]\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}n^4 e^{-n^3} \int \int e^{x^2+y^2} dx dy =0[/tex]

også for integralet over trekanten.

[nybegynner]

Mente egentlig å skrive [tex]\lim_{n\rightarrow\infty}\:n^4e^{-n^3}\:\int\int \:e^{x^3+y^3}\:dxdy[/tex].
Prøv den istedenfor.

[Bogfjellmo]

Syntes det var litt vel enkelt, ja...