Vektor 3

[Emilga]

Æsj, jeg har problemer med disse "vis at ..." oppgavene.
Jeg kunne tenke meg tips til å løse denne oppgaven, ikke direkte svar.

I trekant ABC er D fotpunktet til høyden på AB.
[tex]A = (0,0), B = (12, 3), C=(2,9)[/tex]

[tex]\vec v[/tex] er enhetsvektoren i retning [tex]\vec {AB}[/tex].
[tex]\vec v = [(0,97) , (0,243)][/tex]

b) Bruk definisjonen [tex]\vec u \cdot \vec v = |\vec u| \cdot |\vec v| \cdot cos \theta[/tex] til å vise at [tex]|\vec {AD}| = \vec {AC} \cdot \vec v[/tex].

Har noen ett diffust hint som kan dytte meg i riktig retning?

[Vektormannen]

Joda. Går ut i fra at du uten problemer finner [tex]\vec{AC}\cdot \vec{v} = |\vec{AC}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos \theta = |\vec{AC}| \cdot \cos \theta[/tex].

Ta nå en kikk på definisjonen av cosinus i rettvinklede trekanter og se om du finner et uttrykk for [tex]\cos \theta[/tex].

[Emilga]

[tex]|\vec{AC}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos \theta = |\vec{AC}| \cdot 1 \cdot \cos \theta = \vec{AC} \cdot \cos \theta[/tex]

Hvordan kommer du frem til det siste leddet av utregnignen?

Og jeg vet at x-koordinaten til en enhetsvektor er cosinusen til vinkelen, og at y-koordinater er sinusen.

[Vektormannen]

Blinksa der ... Skal selvfølgelig være lengden/absoluttverdien av [tex]\vec{AC}[/tex]!

Hvis du tegner en skisse ser du at [tex]\vec{AD}[/tex], [tex]\vec{DC}[/tex] og [tex]\vec{AC}[/tex] danner sidene i en rettvinkla trekant. Hvordan kan du nå uttrykke cosinus til [tex]\theta[/tex]?

[Emilga]

[tex]|\vec {AD}| = |\vec{AC}| \cdot \cos \theta[/tex]

[tex]\frac{|\vec {AD}|}{|\vec {AC}|} = cos \theta[/tex]

[tex]|\vec {AD}| = |\vec{AC}| \cdot \frac{|\vec {AD}|}{|\vec {AC}|}[/tex]

[tex]|\vec {AD}| = |\vec {AD}|[/tex]

[Vektormannen]

Der har du det ja Du kan dog konkludere litt mer elegant (?).

Du har at [tex]\cos \theta = \frac{|\vec{AD}|}{|\vec{AC}|}[/tex]. Det betyr at [tex]|\vec{AD}| = |\vec{AC}| \cdot \cos \theta = \vec{AC} \cdot \vec{v}[/tex], som var akkurat det som skulle vises.