Integrasjon av x*arcsin x

[Chepe]

Jeg har kjørt meg litt fast på integralet [tex]\int x \arcsin x dx [/tex] og kunne ha trengt litt hjelp...

Jeg har så langt prøvd med delvis integrasjon og kommer til

[tex]\frac {1}{2} x^2 \arcsin x - \int \frac {x^2}{2\sqrt{1-x^2}}dx[/tex]

Det er på det siste integralet det stopper opp for meg. Jeg har prøvd med diverse substitusjoner, men ingenting ser til å fungere, noen som har et hint om hva jeg burde substituere?

[TrulsBR]

Har du prøvd en trigonometrisk substitusjon?

[Chepe]

Nei, det har jeg lite trening i. Er det mulig å løse det uten? Hvordan går man i såfall frem for å gjøre trigonometrisk substitusjon?

[TrulsBR]

På http://en.wikipedia.org/wiki/Trigonometric_substitution kan du lese om det på en grei måte. Bare spør om du ikke finner ut av det.

[Janhaa]

Nei, det har jeg lite trening i. Er det mulig å løse det uten? Hvordan går man i såfall frem for å gjøre trigonometrisk substitusjon?

et hint kan vel være å sette u = arcsin(x), mhp det siste integralet altså...

[Chepe]

Ok, føler meg litt på tynn is her nå...

[\int \frac {x^2}{2\sqrt{1-x^2}}[/tex]

setter [tex] u= \arcsin x[/tex]
[tex]x = sin u \Rightarrow \frac {dx}{du}= cos u \Rightarrow dx = cos u du[/tex]

[tex]\frac {1}{2} \int \frac {\sin ^2 u}{\sqrt {1-sin^2 u}} \Rightarrow \frac 12 \int \frac{\sin^2 u \cos u}{cos u} \Rightarrow \frac 12 \int \sin^2 x[/tex]

Dette ble vel litt feil tror jeg, siden integralet til sin^2 x jo er [tex]\frac x2 - \frac 12 \sin x \cos x + C [/tex] og det stemmer ikke helt med min fasit som gir [tex]\frac 14 \arcsin x - \frac x4 \sqrt {1-x^2} + C[/tex]

[TrulsBR]

Du er nesten der. Ved siste likhetstegn skifter du av ukjent grunn tilbake til x? Husk også på integrasjonsvariablene du/dx.
For å komme fram til fasitsvaret må du forsøke å uttrykke cos(arcsin(x)) med en algebraisk funksjon.

[Chepe]

Sånn går det når man er litt for rask ja.

Har nå integrert og satt inn for u. Da får jeg absolutt noe som ligner fasit ja:

[tex]\frac 14 \arcsin x - \frac{x}{4} \cos(\arcsin x)[/tex]

Tror ikke jeg har vært borti hvordan man gjør om cos(arcsin x) til en algebraisk funksjon, hvordan gjør man det?

Et annet spm: hvordan så dere at det lønte seg å bruke u=arcsin x? Er det på grunn av at man har sqrt(1-x^2) under en brøkstrek?

[TrulsBR]

Sjekk denne tråden: http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... hp?t=16097.
Når det gjelder valget av arcsin, kommer dette av at den deriverte til arcsin passet inn her. Generelt har du de tre valgmuligheten som er beskrevet på wikipedia-sida. Når du har gjort endel slike substitusjoner vil du kjenne igjen hvilken som er lurt å bruke i hvert tilfelle.
For å få en litt dypere forståelse, kan det være greit å se på de forskjellige måtene [tex]sin^2(x)+cos^2(x)=1[/tex] kan omskrives.

[Janhaa]

Sånn går det når man er litt for rask ja.
Tror ikke jeg har vært borti hvordan man gjør om cos(arcsin x) til en algebraisk funksjon, hvordan gjør man det?

tenk deg en trekant med katetene x, [symbol:rot](1 - x[sup]2[/sup]) og hypotenus lik 1. tegn opp og du ser at
cos(arcsin(x)) = [symbol:rot](1 - x[sup]2[/sup])

Et annet spm: hvordan så dere at det lønte seg å bruke u=arcsin x? Er det på grunn av at man har sqrt(1-x^2) under en brøkstrek?

du vet sikkert at den deriverte av arcsin(x) er lik [tex]\;\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}[/tex]

så da sees sammenhengen...

edit...for sen der

[Chepe]

Aha, gikk opp et lite lys for meg da jeg så de to forklaringene! Skal sette meg litt mer inn i temaet.

Takk for hjelpen!