Å finne tagentlikninger- Ettpunktformelen

[Wentworth]

[tex]f(x)=x^3-3x[/tex]

[tex]f`(x)=0[/tex]

[tex]3x^2-3=0[/tex]

Skal det faktoriseres ? Hvordan?

[zell]

Faktorisering for andregradsligninger:

[tex]ax^2 + bx + c = a(x-x_1)(x-x_2)[/tex]

[tex]3x^2 = 3[/tex]

[tex]x = \pm 1[/tex]

Hva skjer videre?

[Wentworth]

Videre:

Fortegnslinjen:
_______-1__________1____________
x-1 ------0__________________
x+1------------------------- 0______________

f`(x)___0-------------------0______________

Funksjonen har et topppunkt for x=-1 :
Setter i funksjonen [tex]f(x)=x^3-3x[/tex]

[tex]f(-1)=(-1)^3-3*(-1)=2[/tex]

Funksjonen har et bunnpunkt for x=1 :
[tex]f(x)=1^3-3*1=-2[/tex]

Funksjonen har toppunktet (-1,2) og bunnpunktet (1,-2).

Monotoniegenskapene er :

Grafen stiger når [tex]x < -1[/tex] [tex] x>1[/tex]

Og synker når [tex] -1< x<1[/tex]

[Vektormannen]

Ser ut til å stemme bra dette. Du kan forresten sjekke selv hvis du ikke har fasit, ved å plotte grafene av funksjonene på kalkulatoren din og se selv når den stiger, synker, etc.

[Wentworth]

Okey,stemmer bra med kalkisen også.Men denne lurer jeg på om utregningsmåten er riktig.

Skal vi se ,den begynner slik :

[tex]f(x)=x^4-2x^2+2[/tex] er den utgitte funksjonen.

Deriverer :

[tex]4x^3-4x=0[/tex]

[tex]f`(x)=0[/tex]

[tex]4x^3-4x=0[/tex]

[tex]\frac{4x^3}{4}=\frac{4x}{4}[/tex]

[tex]x^3=1[/tex]

Fjerner potensen slik ? :

[tex]\sqrt{x^3}=\pm \sqrt 1\rightarrow (x^3)^{\frac{1}{3}}=\pm 1\rightarrow x^{3 \ \cdot \frac{1}{3}}=\pm1 \ \rightarrow x=\pm1[/tex]

Da har vi :
[tex]x=\pm 1[/tex] og [tex]x=0[/tex]

Faktoriserer [tex]f`(x)[/tex] og lager fortegnslinje for [tex]f`(x)[/tex].
[tex]f`(x)=4(x-1)(x+1)(x-0)[/tex]

Fortegnslinjen :

_____-2______-1______0_______1______________
x-1 ----------------------------------------0_________

x+1 _________0-----------------------------------

x-0 ---------------------------0_____________________

f`(x) ---------------0______0----------0_____________

Rikitg frem til hit?? Spesielt sikte på derivering av funksjonen?

[Vektormannen]

Derivering av funksjonen er rett. Når du faktoriserer den derimot, ser jeg ikke helt hva du gjør, og du gjør i alle fall et par ting feil, slik som her:

[tex]\frac {4x^3} 4 = \frac {4x} 4[/tex]

Når du deler 4x på 4 står du igjen med x, ikke 1. Det du gjør etterpå forstår jeg lite av. Jeg ville gjort følgende:

[tex]4x^3-4x = 4x(x^2-1) = 4x(x-1)(x+1)[/tex]

Men ser at du har fått rett svar, så du har sikkert bare blingset litt nå rdu skreiv det her på forumet eller noe.

Angående fortegnslinja er den feil. Du har at f'(x) er positiv når den egentlig er negativ, og omvendt.

[Wentworth]

Du har faktorisert riktig,men hva skjer med x= 0 ? Hvordan vet vi at den også skal være med i fortegnslinjen,ja har gjort en del feil på fortegn som jeg ser nå...

[Vektormannen]

Alle faktorer skal ideelt sett være med i fortegnslinjen, men det er nok å bare ta med de faktorene som er negative eller blir negative. Vi vet at x er negativ i et visst intervall, og positivt i et visst intervall (når x er positiv og når x er negativ er selvsagt.) Du har jo selv tatt med faktoren x i fortegnslinja over, så dette bør du jo vite ...

[Wentworth]

ops...

[Vektormannen]

[tex]4x^3-4x=(4(x^2-1)[/tex] Her ser du at en x verdi uteble som er den [tex]x=0 [/tex] verdien

Hva for noe? ...

[tex]4x^3-4x \neq 4(x^2-1)[/tex]!

Derimot:

[tex]4x(x^2-1) = 4x(x-1)(x+1)[/tex]

4 trenger man ikke å tegne i fortegnsskjemaet -- den er jo alltid positiv. x, (x-1) og (x+1) derimot, er faktorer som er negative i visse intervall og som dermed må taes med.

Skjønner ikke helt hva du mener med "x-verdi som utble som er x = 0", men ...

[Wentworth]

Men da vet jeg ikke fasitsvaret på hvordan [tex]x=0[/tex] kommer inn i bildet .

Veldig vikitg for meg å vite det ,takk.

[Vektormannen]

Kan du gjengi, ordrett, hva oppgaven spør om?

[Wentworth]

Finn topppunkter og bunnpunkter er oppgavens spørsmål.

Skjønner at [tex](x+1)[/tex][tex](x-1)[/tex] danner visse toppunkter og bunnpunkter men det samme gjør [tex](x-0)[/tex] Men hvordan kommer [tex](x-0)[/tex] inn i bilde her.. lurer jeg privat på.

Vil veldig gjerne vite det ,takk igjen...

[Vektormannen]

Når den deriverte er 0 vet vi at vi befinner oss i et topp- eller bunn-punkt på grafen til funksjonen den er derivert fra. For en fjerdegradsfunksjon, slik som i oppgaven, har vi 3 slike punkt. Derfor får den deriverte tre løsninger når den settes lik 0, nemlig x = 0, x = -1 og x = 1. Vi vet at i hvert av disse punktene snur grafen fra å stige til å synke, og omvendt.

EDIT: Å tegne foregnslinje hadde ingenting for seg i denne oppgaven, med mindre du også skal finne ut hvor grafen stiger og synker.

[Wentworth]

Monotoniegenskaper ja......

Da tenker jeg det holder.... Takk for hjelpen Vektormannen ,han fra R1 har skrevet en hel side med eksempel, om sitt algebrafunksjon der en likning har et ukjent,skal prøve å se på den nå...Ikke glem å se på prison break...