Røtter og Cosinus

Her kan brukere av forum utfordre hverandre med morsomme oppgaver og nøtter man ønsker å dele med andre. Dette er altså ikke et sted for desperate skrik om hjelp, de kan man poste i de andre forumene, men et sted for problemløsing på tvers av trinn og fag.

Røtter og Cosinus

Innlegg Magnus » 19/10-2007 18:41

Røtter og cosinus: Bevis at [tex]\underbrace{\sqrt{2 + \sqrt{2 \ +sqrt{ 2 + ... + \sqrt{2}}}}} _{\rm{n rot-tegn}} = 2\cos \frac{\pi}{2^{n+1}}[/tex]

Løsningen på denne er ganske så rett fram med induksjon.

Åpenbart sant for n=0.

Antar:

[tex]\underbrace{\sqrt{2 + \sqrt{2 \ +sqrt{ 2 + ... + \sqrt{2}}}}}_{\rm{n rot-tegn}} = 2\cos \frac{\pi}{2^{n+1}}[/tex]

[tex] \underbrace{\sqrt{2 + \sqrt{2 \ +sqrt{ 2 + ... + \sqrt{2}}}}}_{\rm{n+1 rot-tegn}} = \sqrt{2 + 2\cos\frac{\pi}{2^{n+1}}} = \sqrt{2\cos^2\frac{\pi}{2^{n+2}} + 2\cos^2\frac{\pi}{2^{n+2}} + 2\sin^2\frac{\pi}{2^{n+2}} - 2\sin^2\frac{\pi}{2^{n+2}}} = [/tex]

[tex]= 2\cos\frac{\pi}{2^{n+2}} [/tex]

Kommentarer:
Bruker at [tex]\cos2x = \cos^2 x - \sin^2 x[/tex]
Trenger ikke tenke på abs-verdi etter kvadratrot da cos er positiv i [0, [symbol:pi] /2).

Egentlig var jeg ikke så forferdelig interessert i denne løsningen. Prøvde heller å finne en algebraisk løsningsmetode, uten direkte hell. Noen som ser en?


Dere kan jo starte med å finne summen algebraisk når n-> [symbol:uendelig].
Magnus offline
Guru
Guru
Innlegg: 2286
Registrert: 01/11-2004 23:26
Bosted: Trondheim

Innlegg mrcreosote » 19/10-2007 20:58

La [tex]a_1=\sqrt2,\, a_n=\sqrt{2+a_{n-1}}[/tex] og [tex]b_n=2\cos{\frac\pi{2^{n+1}}[/tex]. Spesielt er [tex]b_1=a_1=\sqrt2[/tex]. Fra den velkjente formelen [tex]\cos(2x)=2\cos^2x-1[/tex] kan vi utlede at [tex]\cos\frac x{2^{n+1}} = \sqrt{\frac{1+\cos\frac x{2^n}}2}[/tex] (vi får ikke noe trøbbel med negativ rot som Magnus har beskrevet) som er ekvivalent med [tex]b_n=\sqrt{2+b_{n-1}}[/tex]. Følgelig er [tex]a_n=b_n[/tex] for alle n>0.
mrcreosote offline
Guru
Guru
Brukerens avatar
Innlegg: 1995
Registrert: 10/10-2006 19:58

Innlegg Magnus » 19/10-2007 22:11

Smart!

Er en enkel måte å finne summen når n->inf, som ikke innebærer at man trenger å benytte seg av det som bevises i denne oppgaven. Noen som tar den?
Magnus offline
Guru
Guru
Innlegg: 2286
Registrert: 01/11-2004 23:26
Bosted: Trondheim

Innlegg Knuta » 21/10-2007 22:40

F.eks. Like mye som [tex]\HUGE\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{}\sqrt{2}^{\sqrt{2}^{.....}}}}}}}[/tex] ?
Knuta offline
Galois
Galois
Innlegg: 567
Registrert: 31/05-2006 13:59
Bosted: Oslo

Innlegg daofeishi » 22/10-2007 05:37

Indeed! Numerisk verdi følger også fint ved å sette x = uttrykket, manipulere uttrykket ved hjelp av x og løse annengradslikningen som oppstår.

En annen oppgave er den følgende: Finn kriteriet for at [tex]\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a +...}}}}}[/tex] konvergerer.
Sist endret av daofeishi den 22/10-2007 05:43, endret 1 gang
daofeishi offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 1486
Registrert: 13/06-2006 01:00
Bosted: Cambridge, Massachusetts, USA

Innlegg daofeishi » 22/10-2007 05:39

Endret: Dobbelpost.
daofeishi offline
Tyrann
Tyrann
Brukerens avatar
Innlegg: 1486
Registrert: 13/06-2006 01:00
Bosted: Cambridge, Massachusetts, USA

Innlegg Knuta » 22/10-2007 17:13

Ved bruk av høyest ulovlige metoder viser det seg at [tex]\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+...}}}}}=\frac{\sqrt{4x+1}+1}{2}[/tex]
Knuta offline
Galois
Galois
Innlegg: 567
Registrert: 31/05-2006 13:59
Bosted: Oslo

Innlegg Magnus » 22/10-2007 19:23

Joda, svaret er korrekt. Men utregning;) ?
Magnus offline
Guru
Guru
Innlegg: 2286
Registrert: 01/11-2004 23:26
Bosted: Trondheim

Innlegg Magnus » 24/10-2007 10:30

Magnus offline
Guru
Guru
Innlegg: 2286
Registrert: 01/11-2004 23:26
Bosted: Trondheim

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 76 gjester