matematikk.net

en litt morsom oppgave jeg fant

Hva er summen av de reelle røttene til

[tex]x^3-3x^2+3x+1=0[/tex]

den er fullt mulig å løse uten å ha kunnskap om den generelle løsning til en tredjegradsligning (det er vel det som er meningen). Sikkert litt enkel for noen her da

røttene? jeg finner bare én reell rot.

kanskje du mener

[tex]x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = 0[/tex]?

(og bare for å pirke vil jeg si, hva er summen til de reelle løsningene av ligningen. de er jo røtter av tredjegrads funksjonen da.)

Blir vel ikke så mange flere røtter med likningen din =)? Den ene skifter vel bare litt fortegn eller hur?

det ble flere reelle røtter men antallet røtter er og vil alltid forbli tre i en tredjegrads funksjon

Er det ikke bare en reell rot i begge da? 1 og -1?

Vi har at en tredjegradsfunksjon med tre røtter kan skrives slik:

[tex]n(x-a)(x-b)(x-b) = nx^3-n(a+b+c)x^2+n(ab+ac+bc)x-nabc[/tex]

Som =) har sagt gjelder for alle tredjegradsfunksjoner, (med imaginære røtter).

Her vil summen av de relle og de imaginære røttene [tex](a+b+c) =3[/tex]


De reelle røttene derimot, summen av de er vel bare verdien av den ene rota, omtrent [tex]-0.259921[/tex] ifølge kalkulatoren.

Kan uansett lage en regel:

For en tredjegradsfunksjon [tex]f(x)=ax^3+bx^2+cx+d[/tex] med røtter [tex]x_1,x_2,x_3[/tex] vil summen av disse være lik -ba

Altså:

[tex]x_1+x_2+x_3=-ba[/tex]

Dette er med imaginære røtter da.

For en tredjegradsfunksjon med én reell rot og to komplekse, vil de komplekse være komplekskonjugerte. Det er derfor summen av røttene blir et reellt tall.

Akkurat Nå har jeg ikke hatt noe om imaginære tall så det vil vel bli klart en vakker dag

Ligningen har jeg skrevet opp rett, og ja, det er bare en reele rot til oppgaven. Men jeg vil gjerne se en hurtig måte på hvordan man finner denne

Hvis det i ligninga [tex]x^3+ax^2+bx+c=0[/tex] gjelder at [tex]a^2=3b[/tex], er den ikke så vanskelig å løse.

Se på [tex]x^3+ax^2+\frac{a^2}3x+c=0[/tex] og prøv å gjøre noe lurt. Hva er trikset når man utleder løsningformelen for en annengradsligning?

hint(?):

[tex](a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3[/tex]

[tex]x^3 - 3x^2 + 3x + 1[/tex] = [tex]x^3 - 3x + 3x^2 - 1 +2[/tex]
= [tex](x-1)^3+2=0[/tex]

=> x = 1 - 2^(1/3)

stemmer