Oppgave

[Sonki]

en litt morsom oppgave jeg fant

Hva er summen av de reelle røttene til

[tex]x^3-3x^2+3x+1=0[/tex]

den er fullt mulig å løse uten å ha kunnskap om den generelle løsning til en tredjegradsligning (det er vel det som er meningen). Sikkert litt enkel for noen her da

[=)]

røttene? jeg finner bare én reell rot.

kanskje du mener

[tex]x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = 0[/tex]?

(og bare for å pirke vil jeg si, hva er summen til de reelle løsningene av ligningen. de er jo røtter av tredjegrads funksjonen da.)

[Mayhassen]

Blir vel ikke så mange flere røtter med likningen din =)? Den ene skifter vel bare litt fortegn eller hur?

[=)]

det ble flere reelle røtter men antallet røtter er og vil alltid forbli tre i en tredjegrads funksjon

[Mayhassen]

Er det ikke bare en reell rot i begge da? 1 og -1?

[Charlatan]

Vi har at en tredjegradsfunksjon med tre røtter kan skrives slik:

[tex]n(x-a)(x-b)(x-b) = nx^3-n(a+b+c)x^2+n(ab+ac+bc)x-nabc[/tex]

Som =) har sagt gjelder for alle tredjegradsfunksjoner, (med imaginære røtter).

Her vil summen av de relle og de imaginære røttene [tex](a+b+c) =3[/tex]


De reelle røttene derimot, summen av de er vel bare verdien av den ene rota, omtrent [tex]-0.259921[/tex] ifølge kalkulatoren.

Kan uansett lage en regel:

For en tredjegradsfunksjon [tex]f(x)=ax^3+bx^2+cx+d[/tex] med røtter [tex]x_1,x_2,x_3[/tex] vil summen av disse være lik -ba

Altså:

[tex]x_1+x_2+x_3=-ba[/tex]

Dette er med imaginære røtter da.

[Magnus]

For en tredjegradsfunksjon med én reell rot og to komplekse, vil de komplekse være komplekskonjugerte. Det er derfor summen av røttene blir et reellt tall.

[Mayhassen]

Akkurat Nå har jeg ikke hatt noe om imaginære tall så det vil vel bli klart en vakker dag

[Sonki]

Ligningen har jeg skrevet opp rett, og ja, det er bare en reele rot til oppgaven. Men jeg vil gjerne se en hurtig måte på hvordan man finner denne

[mrcreosote]

Hvis det i ligninga [tex]x^3+ax^2+bx+c=0[/tex] gjelder at [tex]a^2=3b[/tex], er den ikke så vanskelig å løse.

Se på [tex]x^3+ax^2+\frac{a^2}3x+c=0[/tex] og prøv å gjøre noe lurt. Hva er trikset når man utleder løsningformelen for en annengradsligning?

[=)]

hint(?):

[tex](a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3[/tex]

[Carve]

[tex]x^3 - 3x^2 + 3x + 1[/tex] = [tex]x^3 - 3x + 3x^2 - 1 +2[/tex]
= [tex](x-1)^3+2=0[/tex]

=> x = 1 - 2^(1/3)

[Sonki]

stemmer