[tex]\int \sqrt{1-\sin^2(x)} \rm{d}x[/tex]
Hvis du har et visst kjennskap til trigonometiske identiteter og kalkulus, kan det godt hende du tenker: "Jammen, så enkelt! Det gjør vi slik:"
[tex]\int \sqrt{1-\sin^2(x)} \rm{d}x \qquad = \qquad \int \sqrt{\cos^2(x)} \rm{d}x \qquad = \qquad \int \cos(x) \rm{d} x \qquad = \qquad \sin(x) + C[/tex]
Tenkte du slik? Det er nemlig feil! Grunnen er kvadratrotfunksjonen - tar du kvadratroten av et positivt tall ender du opp med et positivt tall, åkke som.
For å gjøre det veldig visuelt kan vi jo grafe [tex]\sqrt{\cos^2(x)}[/tex] (rød) mot [tex]\cos(x)[/tex] (grønn).
For [tex]\sqrt{\cos^2(x)}[/tex] er området under grafen alltid positivt, mens det for [tex]\cos(x)[/tex] er negativt i området fra [tex]\frac \pi 2[/tex] til [tex]\frac{3 \pi}{2}[/tex].
Det rette uttrykket er: [tex]\sqrt{\cos^2(x)} = |\cos(x)|[/tex]
der |x| er absoluttverdien av x - som er definert som x dersom x er positiv og -x dersom x er negativ.
Plotter du denne funksjonen, ser den selvsagt slik ut:
Så la oss utforske denne absoluttverdifunksjonen litt. Vi benytter oss av og til av at[tex]|x| \equiv \sqrt{x^2}[/tex]
a) Bruk kjerneregelen til å finne derivatet av |x|. Hva skjer med tangenten til grafen når x = 0?
b) Bevis at [tex]\int |x| \rm{d}x = \frac{1}{2}|x|x + C[/tex]
c) Finn derivatene til:
[tex]f(x) = \cos(|x|)[/tex]
[tex]f(x) = |\cos(x)|[/tex]
[tex]f(x) = e^{\sqrt{1-\sin^2(x)}}[/tex]
d) Bevis det følgende:
[tex]\int |\cos(x)| \rm{d}x = |\cos(x)|\tan(x) + C \\ \int |\sin(x)| \rm{d}x = \frac{|\sin(x)|}{\tan(x)} + C[/tex]
e) Finn integralene:
[tex]\int \sin(|x|) \rm{d}x \\ \int |\cos(x) - \sin(x)| \rm{d}x[/tex]
Hvis du har lyst, kan du benytte deg av at [tex]\frac{|x|}{x} \equiv \rm{sgn}(x)[/tex], der sgn(x) er den såkalte signumfunksjonen, som er -1 dersom x er negativ, 1 dersom x er positiv og 0 dersom x er 0.
