Tallteori: Småsteiner

[Ice offline]

"Småsteiner: Du har et kvadrat med sidelengde 1 meter. Bevis at dersom du plasserer 5 småsteiner i dette kvadratet, vil det finnes 2 steiner som er maksimum [tex]\frac{\sqrt 2}{2} [/tex]meter fra hverandre."

Vi deler kvadratet i fire like store kvadrater med sidelengder 0,5, og i en av rutene må det finnes minst:
[tex] \lceil \frac{5}{4}\rceil = 2 [/tex]
steiner.

Den største mulige avstanden mellom disse to steinene finner vi hvis begge ligger i hvert sitt hjørne, diagonalt ovenfor hverandre. Bruker Pythagoras:

[tex]x^2 = \frac{1}{2}^2 + {\frac{1}{2}}^2 [/tex]

[tex]x = \frac{1}{\sqrt 2} = \frac{\sqrt 2}{2} [/tex]

Dette skal vel være riktig?

[Homer offline]

Ja, altså det verste tilfellet er jo når 4 av steinene ligger i hvert sitt hjørne og den siste ligger i sentrum. Og da er avstanden roten av 2 delt på 2. Men en stein har jo utstrekining så egentlig vil vel alltid avstanden være mindre

[mrcreosote offline]

Riktig det, Ice. Oppgava (eller i alle fall ei som ligna veldig) blei gitt i Abelfinalen for 2-3 år siden.

Homer: Forskjellen på en stein og en småstein er at småsteinen ikke har utstrekning.

[Homer offline]

Ok. Takk for informasjonen. Da lærte jeg noe nytt i dag og. Viktig at begrepene sitter.

[Charlatan offline]

Mulig jeg har oversett noe stort noe, men hvorfor er det verste tilfellet at de 4 steinene ligger i et hjørne og den siste i sentrum? hvorfor ikke i det motsatte hjørnet?

[Mayhassen offline]

Enig Jarle10, 2 steiner kan jo fint ha avstand [symbol:rot] 2 her? Bare å legge 4 steiner i et hjørne og den siste i motsatt hjørne. Siden "jeg" skal plassere steinene, altså opp til meg hvordan, vil det aldri være en maks avstand på [symbol:rot] (2)/2 i mitt kvadrat, så det så!

[TrulsBR offline]

Oppgaven sier at dersom vi plasserer 5 steiner, vil det finnes 2 steiner som er maksimum [tex]\frac{\sqrt 2}{2}[/tex] meter fra hverandre.

Hvis du plasserer 4 steiner sammen, vil disse være mindre enn [tex]\frac{\sqrt 2}{2}[/tex] meter fra hverandre.

Oppgaven spør derimot ikke om det er mulig å plassere 2 av de fem steinene lengre unna enn [tex]\frac{\sqrt 2}{2}[/tex] meter

[Sonki offline]

Det de spør om i oppgaven er jo at uansett hvordan du plasserer fem steiner i firkanten, så vil det finnes to steiner som ikke har større avstand enn [symbol:rot] (2)/2. Ifølge eksempelet til Mayhassen vil 4 av steinene ha en avstand fra hverandre som tilsvarer 0 (er i det samme hjørne)[/tex]

[daofeishi offline]

Erstatt "maksimum" med "mindre enn eller lik", så blir det muligens mer forståelig.