Integral: marginalfordeling, multivariabel normalfordeling

[zxxxx]

Hei,

jeg har en multivariabel normalfordeling som kan skrives formen
[tex]f\left( z|P,\theta\right) =\frac{1}{2\pi|P|^{1/2}}\exp\left( -\frac{1}{2}z^{T}\left( \Theta P\Theta^{T}\right) ^{-1}z\right)[/tex]
Hvor rotasjonsmatrisen [tex]\Theta[/tex] er definert av [tex]\theta[/tex] som
[tex]\Theta=\left[\begin{array}\cos\theta & -\sin\theta\\\sin\theta & \cos\theta\end{array}\right][/tex]
og [tex]P[/tex] er gitt av den diagonale matrisa
[tex]P=\left[\begin{array}\sigma_{1}^{2} & 0\\0 & \sigma_{2}^{2}\end{array}\right][/tex]
og [tex]z=\left[\begin{array}x & y\end{array}\right] ^{T}[/tex]. Anta at [tex]x[/tex] og [tex]y[/tex] har 0 i middelverdi.

Problemet er at jeg gjerne vil ha et analytisk uttrykk for marginalfordelingen
[tex]f\left( z|P\right) =\int f\left( z|P,\theta\right) f(\theta)d\theta[/tex]
når [tex]\theta[/tex] er uniformt fordelt på intervallet [tex]\[0,2\pi\][/tex]. Har da
[tex]\begin{align*}f\left( z|P\right) & =\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{2\pi|P|^{1/2}}\exp\left(-\frac{1}{2}z^{T}\left( \Theta P\Theta^{T}\right) ^{-1}z\right) \frac{1}{2\pi}d\theta\\& =\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{\left(2\pi\right) ^{2}\sigma_{1}\sigma_{2}}\exp\left( -\frac{1}{2}z^{T}\Theta P^{-1}\Theta^{T}z\right) d\theta\end{align*}[/tex]
Har plugget alt inn i Maple uten å finne en analytisk løsning, men jeg har en sterk mistanke om at svaret skal bli en ny multi-normalfordeling med kovarians
[tex]P=\left[\begin{array}\sigma_{n}^{2} & 0\\0 & \sigma_{n}^{2}\end{array}\right][/tex]
Noen som ser (lett ) hvordan dette kan angripes?

[zxxxx]

Hei igjen,

ved å løse problemet numerisk, har jeg funnet at marginalfordelingen ikke nødvendigvis er en bivariabel normalfordeling, bare når [tex]\sigma_{1}=\sigma_{2}[/tex].

Ved numerisk løsning viser det seg at den resulterende fordelingen har kovarians
[tex]P=\left[\begin{array}(\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2})/2&0\\0 &(\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2})/2\end{array}\right][/tex]

Et eksempel på en numerisk beregnet sannsynlighetstetthetsfordeling (stf) for [tex]\sigma_{1}=1,\sigma_{2}=2[/tex] kan ses her:


Differansen mellom numerisk beregnet stf og bivariabel normalfordeling med samme kovarians og middelverdi er plottet her:


Utsnitt av stf, x=0:


Ser med andre ord at den resulterende marginalfordelingen ikke er en bi-variabel normalfordeling. Mulig at fordelingen kan uttrykkes ved hjelp av en Besselfunksjon eller tilsvarende.

Dersom noen klarer å løse det forrige integralet, kunne jeg også gjerne tenke meg å få hjelp til å løse følgende integral:

[tex]f\left( z|P\right) =\int f\left( z|P,\theta\right) f\left(\theta\right) d\theta\\ =\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{2\pi|P|^{1/2}}\exp\left( -\frac{1}{2}z^{T}\left( \Theta P\Theta^{T}\right) ^{-1}z\right) \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_{\theta}}\exp\left(-\frac{\left( \theta-\bar{\theta}\right) ^{2}}{2\sigma_{\theta}^{2}}\right) d\theta[/tex]

Dette integralet tilsvarer det opprinnelige integralet, men [tex]\theta[/tex] er normalfordelt rundt en middelverdi [tex]\bar{\theta}[/tex] istedet for uniformt fordelt.

Alle analytiske løsninger og gode approksimasjoner mottas med takk!